上海市复旦大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练：空间几何体.doc

复旦大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练：空间几何体
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，在平行六面体中，为与的交点．若，，则下列向量中与相等的向量是( )

A． B．
C． D．
【答案】A
2．一个棱锥的三视图如右图所示，则它的体积为( )

A． B． C．1 D．
【答案】A
3．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为( )

A． 4 B． 8 C． 16 D． 20
【答案】C
4．如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是( )

【答案】C
5．平面的一个法向量为，则y轴与平面所成的角的大小为( )
A． B． C． D．
【答案】B
6．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是( )
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
7．在平行六面体中，点为与的的交点，，，，则下列向量中与相等的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
8．已知直线⊥平面,直线平面,下面三个命题( )
①∥⊥；②⊥∥；
③∥⊥. 则真命题的个数为
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
【答案】C
9．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为 的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为( )

A． B． C． D．
【答案】D
10．设点M是Z轴上一点，且点M到A（1，0，2）与点B（1，－3，1）的距离相等，则点M的坐标是( )
A．（－3，－3，0） B．（0，0，－3）
C．（0，－3，－3） D．（0，0，3）
【答案】B
11．在空间直角坐标系中,点A(1,0,1)与点B(2,1,-1)之间的距离是( )
A． B．6 C． D．2
【答案】A
12．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大时，其高的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为

【答案】
14．已知点A（1，2，1）、B（－1，3，4）、D（1，1，1），若=2，则| |的值是
【答案】
15．已知平行六面体,以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都等于,则=_________
【答案】
16．已知＝(1-t，1-t，t)，＝(2，t，t），则|－|的最小值为 。
【答案】
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．已知，如图，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交直线AC于点E，交AD于点F，过G作⊙O的切线，切点为H.求证：
(1)C，D，F，E四点共圆；
(2)GH2＝GE·GF.

【答案】 (1)连接CB，
∵∠ACB＝90°，AG⊥FG，
又∵∠EAG＝∠BAC，
∴∠ABC＝∠AEG.
∵∠ADC＝180°－∠ABC
＝180°－∠AEG＝∠CEF，
∴∠ADC＋∠FDC＝∠CEF＋∠FDC＝180°，
∴C，D，F，E四点共圆．
(2)由C，D，F，E四点共圆，知∠GCE＝∠AFE，∠GEC＝∠GDF，
∴△GCE∽△GFD，
故＝，即GC·GD＝GE·GF.
∵GH为圆的切线，GCD为割线，
∴GH2＝GC·GD，∴GH2＝GE·GF.
18．如图，在四梭锥P -ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,AD =2，AB＝1.点M线段PD的中点．
(I）若PA＝2，证明：平面ABM ⊥平面PCD；
(II）设BM与平面PCD所成的角为θ，当棱锥的高变化时，求sinθ的最大值．

【答案】 (Ⅰ)∵平面，.
∵点M为线段PD的中点，PA= AD =2，.
又∵平面，.
平面.
又平面，
∴平面⊥平面.
(Ⅱ)设点B到平面PCD的距离为.
∵AB∥CD, ∴AB∥平面PCD.
∴点B到平面PCD的距离与点A到平面PCD的距离相等.
过点A在平面PAD内作AN⊥PD于N,

平面⊥平面，平面.
所以AN就是点A到平面PCD的距离.
设棱锥的高为，则AN=.
在△中，.
.
因为，当且仅当，即时，等号成立.
故.
19．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2．

(1）若D为AA1中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D；
(2）当AD的长等于多少时？二面角B1－DC－C1的大小为60°．
【答案】(1）∵∠A1C1B1＝∠ACB＝90°，∴B1C1⊥A1C1．
又由直三棱柱性质知B1C1⊥CC1，∴B1C1⊥平面ACC1A1．
∴B1C1⊥CD． ①
由D为中点可知，，∴DC2＋DC12＝CC12，即CD⊥DC1．②
由①②可知CD⊥平面B1C1D，又平面B1CD，故平面B1CD⊥平面B1C1D．
(2）由（1）可知B1C1⊥平面ACC1A1，在平面ACC1A1内过C1作C1E⊥平面CD，交CD或延长线于E，连接EB1．
由三垂线定理可知∠B1EC1为二面角B1－DC－C1的平面角，∴∠B1EC1＝60°．
由B1C1＝2，知，设AD＝x，则．
∵△DCC1的面积为1，∴，解得，即．
20．如图，已知是平面的一条斜线，为斜足，为垂足，为内的一条直线，，求斜线和平面所成角

【答案】∵，由斜线和平面所成角的定义可知，为和所成角，
又∵，
∴，
∴，即斜线和平面所成角为．
21．如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，是的中点，是的中点，点在直线上，且满足．

(1）当取何值时，直线与平面所成的角最大？
(2）若平面与平面所成的二面角为，试确定点的位置．
【答案】(1）以AB,AC,分别为轴，建立空间直角坐标系，

则，
平面ABC的一个法向量为则 (*）
于是问题转化为二次函数求最值，而当最大时，最大，所以当时，
.
(2）已知给出了平面PMN与平面ABC所成的二面角为，即可得到平面ABC的一个法向量为
，设平面PMN的一个法向量为，.
由得 ，解得.
令于是由
，
解得的延长线上，且.
22．已知A(1 , -2 , 11) , B(4 , 2 , 3) ,C(6 , -1 , 4) , 求证: ABC是直角三角形.
【答案】证明:
为直角三角形.

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