上海中学高三数学综合练习（一）.doc

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上海中学高三数学综合练习（一）2008-03-18
班级___________学号__________姓名_______________成绩_________________
一． 填空题
1． 定义在R上的奇函数f(x)以2为周期，则f(1) =___________.
2． 如果复数（）的实部和虚部互为相反数，则b等于_____________.
3．(理) 若展开式中含项的系数等于含x项的系数的8倍，则n=______.
(文) 若，则目标函数的最小值为_______________.
4．已知，则关于x的不等式的解集为__________________.
5．点P是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，且PF1F2的内切圆半径为1，当P在第一象限内时，P点的纵坐标为_____________.
6．数列{an}满足：an= ，它的前n项和记为Sn，则Sn=__________.
7．某市为加强城市圈的建设，计划对周边如图所示的A、B、
C、D、E、F、G、H八个中小城市进行综合规划治理，第
一期工程拟从这八个中小城市中选取三个城市，但要求没
有任何两个城市相邻，则城市A被选中的概率为________.
8．若方程仅有一个实数根，则k的取值范围是______________.
9． 在△ABC中，已知|AB|=2，，则△ABC面积的最大值为___________.
10．如图为一几何体的的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，
SD=PD＝6，CR=SC，AQ=AP，点S,D,A,Q及P,D,C,R共线，沿图中虚线将它们折叠，使P，Q，R，S四点重合，则需要________个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体.

11．若函数y=ax(a>1)和它的反函数的图像与函数y=的图像分别交于点A、B，若|AB|=，则a约等于_____________(精确到0.1).
12．老师告诉学生小明说，“若O为△ABC所在平面上的任意一点，且有等式，则P点的轨迹必过△ABC的垂心”，小明进一步思考何时P点的轨迹会通过△ABC的外心，得到的条件等式应为_______________________________.
（用O,A,B,C四个点所构成的向量和角A,B,C的三角函数以及表示）

二．选择题
13．若函数y＝cos2x与y＝sin(x＋φ)在[0，]上的单调性相同，则φ的一个值为( )
A. B. C. D.
14．在ABC中，A=，BC=3，则ABC的周长为 ( )
A.4sin(B+)+3 B. 4sin(B+)+3
C.6sin(B+)+3 D. 6sin(B+)+3
15．若点M(a,)和N(b,)都在直线l：x+y=1上，则点P(c,)，Q(,b)和l 的关系是 ( )
A. P和Q 都在l上 B. P和Q 都不在l上
C. P在l上，Q不在l上 D. P不在l上，Q在l上
16．数列{an}满足：a1=，a2=，且a1a2+a2a3+…+anan+1=na1an+1对任何的正整数n都成立，则的值为 ( )
A. 5032 B. 5044 C. 5048 D. 5050
三．解答题
1．已知函数的最小正周期为π，且当x=时，函数有最小值.
（1）求f(x)的解析式；
（2）作出f(x)在[0，π]范围内的大致图象.

2．设虚数z满足|2z+15|=|+10|.
(1)计算|z|的值；(2)是否存在实数a，使R？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

3．如图所示，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2，侧棱与底面所成角为，且侧面ABB1A1垂直于底面.
(1)判断B1C与C1A是否垂直，并证明你的结论；
(2)求四棱锥B-ACC1A1的体积.

4．在新的劳动合同法出台后，某公司实行了年薪制工资结构改革。该公司从2008年起，每人的工资由三个项目构成，并按下表规定实施：
项目
金额[元/(人•年)]
性质与计算方法
基础工资
2007年基础工资为20000元
考虑到物价因素，决定从2008年
起每年递增10%(与工龄无关)
房屋补贴
800
按职工到公司年限计算，每年递增800元
医疗费
3200
固定不变
如果该公司今年有5位职工，计划从明年起每年新招5名职工。
(1)若今年(2008年)算第一年，将第n年该公司付给职工工资总额y(万元)表示成年限n的函数；
(2)若公司每年发给职工工资总额中，房屋补贴和医疗费的总和总不会超过基础工资总额的p%，求p的最小值.

5．已知函数f(x)=(|x|-b)2+c，函数g(x)=x+m，
(1)当b=2，m=-4时，f(x)g(x)恒成立，求实数c的取值范围；
(2)当c=-3，m=-2时，方程f(x)=g(x)有四个不同的解，求实数b的取值范围.

6．若给定椭圆C：ax2+by2=1(a>0,b>0,ab)和点N(x0,y0)，则称直线l：ax0x+by0y=1为椭圆C的“伴随直线”，
(1)若N(x0,y0)在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系(当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交)，并说明理由；
(2)命题：“若点N(x0,y0)在椭圆C的外部，则直线l与椭圆C必相交.”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；
(3)若N(x0,y0)在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交l于M点(异于A、B)，设，，问是否为定值？说明理由.

一. 填空题
1.0 (0) 2.0 (0) 3.(理)5 (0.14) (文) 4 4.(2a,-a)(-a,-4a) (0.34)
5. (0.46) 6. (0.26) 7. (0.43) 8. (0.37)
9. (0.58) 10.24 （0.29）11.8.4 (0.55)
12. (0.98)
二. 选择题
13. D (0.36) 14. D (0.11) 15. A (0.11) 16. B (0.08)
三. 解答题
1.(1)f(x)=1–sin (0.34) (2)略
2.(1)|z|=5 (2)a=±5 (0.06)
3.(1)几种常见处理方法：用空间直角坐标系解、传统方法解、基向量解.
(2) (0.42)
4.(1)y=10n(1+10%)n+0.2n2+1.8n , nN*
(2)由0.2n2+1.8n£10n×1.1n×p%,得p%³，令an=，
由得1£n£2，∴p%³a1=a2= ∴p³ (0.69)
5.(1)c³x–4–(|x|–2)2=，由图象得c³–. (0.14)
(2)(|x|–b)2–3=x–2，即(|x|–b)2=x+1有四个不同的解，
∴ (x–b)2=x+1(x³0)有两个不同解以及(x+b)2=x+1(x<0)也有两个不同解，
由根的分布得b³1且1<b<，∴1<b<. (0.63)
6.(1)
即ax2–2ax0x+ax02=0
∴△=4a2x02–4a2x02=0
∴l与椭圆C相切. (0.34)
(2)逆命题：若直线l：ax0x+by0y=1与椭圆C相交，则点N(x0,y0)在椭圆C的外部.
是真命题。联立方程得(aby02+a2x02)x2–2ax0x+1–by02=0
则△=4a2x02–4a(by02+ax02)(1–by02)>0
∴ax02–by02+b2y04–ax02+abx02y02>0
∴by02+ax02>1
∴N(x0,y0)在椭圆C的外部. (0.75)

(3)同理可得此时l与椭圆相离，设M(x1,y1)，A(x,y)
则代入椭圆C：ax2+by2=1，利用M在l上，
即ax0x1+by0y1=1，整理得(ax02+by02–1)12+ax12+by12–1=0
同理得关于2的方程，类似.
即1、2是(ax02+by02–1)2+ax12+by12–1=0的两根
∴1+2=0. (100%)

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