四年级奥数讲义11学子教案库1.第一讲整数与数列.doc

第一讲整数与数列知识点拨一、等差数列的定义 先介绍一下一些定义和表示方法定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列譬如：2、5、8、11、14、17、20、 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列100、95、90、85、80、 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列 首项：一个数列的第一项，通常用表示末项：一个数列的最后一项，通常用表示，它也可表示数列的第项。项数：一个数列全部项的个数，通常用来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用来表示；和 ：一个数列的前项的和，常用来表示 二、等差数列的相关公式(1)三个重要的公式 通项公式：递增数列：末项首项(项数)公差，递减数列：末项首项(项数)公差，回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手同时还可延伸出来这样一个有用的公式：， 项数公式：项数(末项首项)公差+1 由通项公式可以得到： (若)； (若)找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、40、43、46 ，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有项，每组3个数，所以共组，原数列有15组 当然还可以有其他的配组方法 求和公式：和=(首项末项)项数2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手：(思路1) (思路2)这道题目，还可以这样理解： 即，和(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数譬如： ，题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于； ，题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于例题精讲模块一、等差数列基本概念及公式的应用【例 1】 小朋友你会用等差数列的求和公式会计算下面各题吗？【巩固】 计算： ； 【巩固】 计算_【巩固】 计算以质数71做分母的最简真分数有求这列数的和计算：【例 2】 把比100大的奇数从小到大排成一列，其中第21个是多少？【巩固】 如果一个等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项.如果一个等差数列的第3项为16，第11项为72，求它的第6项.【巩固】 在等差数列6，13，20，27，中，从左向右数，第 _个数是1994【巩固】 已知一个等差数列第9项等于131，第10项等于137，这个数列的第1项是多少？第19项是多少？【例 3】 15个连续奇数的和是1995，其中最大的奇数是多少？【巩固】 2、4、6、8、10、12、是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个 【例 4】 编号为的9个盒子里共放有351粒糖，已知每个盒子都比前一个盒子里多同样数量的糖如果1号盒子里放11粒糖，那么后面的盒子比它前一个盒子里多放几粒糖？【巩固】 例题中已知如果改为3号盒子里放了23粒糖呢？【巩固】 小王和小高同时开始工作。小王第一个月得到1000元工资，以后每月多得60元；小高第一个月得到500元工资，以后每月多得45元。两人工作一年后，所得的工资总数相差多少元？【例 5】 如下图所示的表中有55个数，那么它们的和等于多少？【巩固】 下列数阵中有100个数，它们的和是多少？【例 6】 1、4、7、10、13、这个数列中，有6个连续数字的和是159，那么这6个数中最小的是几？【巩固】 1、3、5、7、9、11、是个奇数列，如果其中8个连续奇数的和是256，那么这8个奇数中最大的数是多少？【巩固】 在一次数学竞赛中，获得一等奖的八名同学的分数恰好构成等差数列，总分为656，且第一名的分数超过了90分（满分为100分）。已知同学们的分数都是整数，那么第三名的分数是多少？模块二、等差数列的应用及提高【例 7】 已知数列：2，1，4，3，6，5，8，7，问2009是这个数列的第多少项？【巩固】 已知数列2、3、4、6、6、9、8、12、，问:这个数列中第2000个数是多少？第2003个数是多少？【巩固】 已知有一个数列：1、1、2、2、2、2、3、3、3、3、3、3、4、，试问： 15是这样的数列中的第几个到第几个数？ 这个数列中第100个数是几？ 这个数列前100个数的和是多少？【巩固】 有一列数：l，2，4，7，1l，16，22，29，37，问这列数第1001个数是多少?【例 8】 (04年走进美妙数学花园) 黑板上写有从1开始的一些连续奇数：1，3，5，7，9，擦去其中一个奇数以后，剩下的所有奇数的和是2008，那么擦去的奇数是 【巩固】 小明住在一条胡同里一天，他算了算这条小胡同的门牌号码他发现，除掉他自己家的不算，其余各门牌号码之和正好是100请问这条小胡同一共有多少户(即有多少个门牌号码)？小明家的门牌号码是多少？【巩固】 一辆双层公共汽车有66个座位，空车出发，第一站上一位乘客，第二站上两位乘客，第三站上三位乘客，依此类推，第几站后，车上坐满乘客？【巩固】 （第十一届“迎春杯”）小明进行加法珠算练习，用，当加到某个数时，和是1000在验算时发现重复加了一个数，这个数是多少？【例 9】 （第九届“迎春杯”决赛试题）某工厂12月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始，每天都从总厂陆续派相同人数的工人到分厂工作，直到月底，总厂还剩工人250人如果月底统计总厂工人的工作量是9455个工作日（1人工作1天为1个工作日），且无1人缺勤那么这月由总厂派到分厂工作的工人共有多少人【例 10】 （第一届“奥数网杯”）把自然数从1开始，排列成如下的三角阵：第1列为1；第2列为2，3，4；第3列为5，6，7，8，9，每一列比前一列多排两个数，依次排下去，“以1开头的行”是这个三角阵的对称轴，如图则在以开头的行中，第2008个数是多少【巩固】 将自然数按下图的方式排列，求第10行的第一个数字是几？【巩固】 自然数按一定规律排成下表，问第60行第5个数是几？ 【例 11】 右图中，每个最小的等边三角形的面积是12平方厘米，边长是1根火柴棍如果最大的三角形共有8层，问：最大三角形的面积是多少平方厘米？整个图形由多少根火柴棍摆成？【巩固】 (“走进美妙数学花园”试题)如右图，25个同样大小的等边三角形拼成了大等边三角形，在图中每个结点处都标上一个数，使得图中每条直线上所标的数都顺次成等差数列已知在大等边三角形的三个顶点放置的数分别是100，200，300求所有结点上数的总和【巩固】 用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形，用这样的等边三角形，按图所示铺满一个大的等边三角形，如果这个大的等边三角形的底边放10根火柴，那么一共要放多少根火柴？【例 12】 如图，把边长为1的小正方形叠成“金字塔形”图，其中黑白相间染色如果最底层有15个正方形，问其中有多少个染白色的正方形，有多少个染黑色的正方形？【巩固】 （2008年第七届“小机灵杯”数学竞赛初赛）有若干根长度相等的火柴棒，把这些火柴棒摆成如下图的图形照这样摆下去，到第行为止一共用了 根火柴棒【巩固】 （2008年第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动初赛）如图所示，白色和黑色的三角形按顺序排列当两种三角形的数量相差个时，白色三角形有 个模块三、整数裂项【例 13】 =_ 【巩固】 _【例 14】 【巩固】 计算： 【巩固】 【例 15】 =_【巩固】 计算： 课后作业练习1. 已知一个等差数列第8项等于50，第15项等于71.请问这个数列的第1项是多少？练习2. 把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？练习3. 下面方阵中所有数的和是多少？练习4. 将自然数按下面的形式排列问：第10行最左边的数是几？第10行所有数的和是多少？练习5. 小明练习打算盘，他按照自然数的顺序从1开始求和，当加到某一个数的时候，和是1997，但他发现计算时少加了一个数，试问：小明少加了哪个数？