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用判别式法求函数值域的问题分析
利用一元二次方程根的判别式求某些函数的值域，由于解题过程中常用到变形，往往导致错误．因此，许多师生认为该种方法不可靠而回避它，或者只有当函数定义域为R时才使用该方法．那么，到底是什么原因导致错误？解题过程中应注意什么？下面就常见的两类问题作一分析．
第一类问题：如果函数隐含于方程中，因方程有实数根，通过求出的范围（设为集合M），若存在，使，为什么有时要从M中除去，而有时不要？
例1：已知函数满足方程，求函数的值域．
解：原方程可变为，∵，由解得．但当时，方程（1）不成立，说明不是函数的值，必须除去．因此函数的值域应为．
例2：已知函数满足方程，求函数的值域．
解：原方程可变为，∵，由解得．当时，说明是函数的值，因此函数的值域为．
结论一：若函数隐含于方程中，此时可把方程(2)看作的二次方程．因方程（2）有实根，所以其判别式，解不等式（3）所得到的的范围（用集合M表示）有可能是函数的值域．但M是否为函数的值域还应分以下两种情况讨论：
1．若对于任意的，有，由一元二次方程根的判别式可知，方程（2）有实根与不等式（3）是互为充要的条件，所以的值域为M．
2．若存在，使，则方程（2）为一次方程，这时又可分为两种情况讨论：①若，方程有解，所以函数的值域为M．②若且时，方程为恒等式，显然有解，所以函数的值域为M．当且时，方程无解，这说明不是函数的值，因此函数的值域应是M除去之后得到的集合．
第二类问题：当函数以分式形式给出时，常见问题的特征及解决问题的方法．
问题一：若函数以分式形式给出，是否只有当定义域为R时才可用判别式法求值域？
例3：求函数的值域．
解：两边乘以得，当时分母虽然为零，但分子，显然不是方程（4）的解，因此与方程（4）是等价的，以下解法仿照例2．
例4： 求函数的值域．
解：两边乘以得，当时分母虽然为零，但分子，显然不是方程（5）的解，因此与方程（5）是等价的．
∵，由解得或．∴函数的值域为．
分析：类似于例3、例4的问题，虽然函数的定义域不为R，但去分母前后两个方程是等价的，故仍可用判别式法求函数的值域．
问题二：若函数以分式形式给出，当分子、分母有公因式时，应注意什么？
例5：求函数的值域．
解：，∵由函数的定义域知，∴
由函数（6）易知　，因为，所以把代入（6）所求得的的值必须除去．所以函数的值域应该为．
例6：
解：，由（7）易知，但因为，所以把代入（7）所求得的的值必须除去．所以函数的值域应该为．
分析：类似于例5、例6的问题，函数以分式形式给出，分子分母有公因式。由于用判别式法相对比较繁琐，一般可先约去公因式，再求化简后函数的值域。因变形前后函数的定义域不同，从而导致了函数值域的不同，所以在求值域时一定要考虑定义域．
结论二：若函数是以分式形式给出的，设，其中，，把（8）变形为，即，整理得，可分以下四种情况讨论：
1．若对于任意的实数，恒有时，则方程（8）与方程（9）等价，可归结为第一类问题讨论．
2．若存在实数，使得，而，显然不可能是方程（9）的解，所以方程（8）与方程（9）是等价的，因此也可归结为第一类问题讨论．
3．若存在实数，满足方程（9），且，由（9）可知必有，则是和的公共解，因此有，，由（8）可得，设集合N为函数的值域．由于时函数（9）无意义，因此函数的值域应在函数的值域N中除去．
4．若存在两个实数，满足方程（9），且，由（9）可知必有，也就是说和有两个公共解和，所以有，，其中和为不等于零的常数．约去（8）中分子分母的公因式得，则函数的值域为．例如函数的值域为．