第一届信阳高中理(1)班数学邀请赛参考答案.doc

第一届信阳高中理一班数学邀请赛参考答案
注意事项：
请用批判性的眼光来看待此答案。
第一卷（共85分）
一、 选择题（共4小题，计36分）
1.C 2.A 3.B 4.B
二、 填空题（共4小题，计36分）
5. 或-1 6.③ 7. 25%
8.
（其余合理答案也可）
三、 解答题A（共1小题，计13分）
9. （Ⅰ）（如解答图１）

可得ＣＢ⊥ＡＢ
∵AE⊥平面BCDE
∴AE⊥BC
可得BC⊥BE
同理：CD⊥DE
解答图1
可得△CBE≌△CDE
推出F为ＢＣ中点
推出ＥＣ⊥ＢＤ
连ＰＦ并延长ＰＦ、ＡＥ交于一点Ｍ，连ＤＭ，
则ＤＭ为平面ＰＢＤ与平面ＡＥＤ的交线
在平面ＡＥＣ内过Ｅ作ＥＨ⊥ＰＭ于点Ｈ
同样作ＥＩ⊥ＤＭ于点Ｉ，连ＨＩ
（Ⅱ）解：由（I）知ＢＣ⊥ＢＥ
即∠ＥＢＣ为直角，同理∠ＥＤＣ也为直角。
∵∠ＥＢＣ＋∠ＥＤＣ＝１８０°
∴Ｅ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点共圆（如解答图２）
则圆ＥＢＣＤ为外接球与斜圆锥的一个交线
则
则Ｐ在球上也在斜圆锥面上
∴Ｐ为交线上一点
过Ｐ作ＧＰ⊥ＡＣ交ＡＥ于点Ｇ
∴Ｇ、Ｅ、Ｃ、Ｐ四点共圆
∴Ｇ也在交点上

由题可知
ＰＭ⊥ＢＤ
又∵ＥＣ⊥ＢＤ
推出ＢＤ⊥ＥＨ
又∵ＥＨ⊥ＰＭ
推出ＥＨ⊥ＤＭ
推出ＤＭ⊥ＨＩ
则∠ＥＩＨ为二面角Ａ－ＤＭ－Ｐ的平面角
设ＰＣ＝ａ

在圆ＢＣＤＥ上任找一点Ｒ
则有ＣＲ⊥ＥＲ
ＣＲ⊥平面ＡＥＲ
过Ｇ作ＧＱ⊥ＡＲ于点Ｑ
则Ｇ、Ｅ、Ｒ、Ｑ四点共圆
∴Ｑ也在球与斜圆锥的交线上
∵ＧＱ⊥ＡＲ，ＣＲ⊥ＧＱ
∴ＧＱ⊥ＱＰ
取ＧＰ中点Ｓ
则ＱＳ＝ＧＰ
∴球与斜圆锥的另一交线是以ＧＰ为直径的圆
解答图２

第二卷（共65分）
1
解答图3
四、 解答题B（共3小题，计65分）
10.解：
第一步 作出
１、利用数轴、直尺（无刻度或矩形尺）、圆规
①作单位１的正方形
②连对角线得
第二步 作出
2、利用圆规、矩形尺、数轴、细绳
①作半径为1的圆
②用细绳截得已知，在单位圆的外围绕得
解答图4
的弧长。
③用矩形尺作垂线（也可尺规作图）与初始半径
延长线交于一点。则从弧末点与此点的直线距离
即为(如解答图3)
第三步 作出
利用矩形尺、圆规
①作出一对互相垂直的直线
②在直线上找到1，使OA为1，同时找到OB使OB=
③如解答图4，摆放矩形尺：
调整使④号矩形尺与垂直直线交点D点与B点重合，则此时①
号矩形尺拐点C到O点距离CO长，即为
④用圆规在原数轴上找到
1
11.解：过A作直线l∥BC交大球球面于点D
可证四边形PADB为矩形
则AB中点为PD与AB的交点设为M
连OP,OD。取OP中点N
则
∵P为定点，O为定点
∴N为定点
则有M到N的距离为一定值
∴
∴M的轨迹为以OP为中点为圆心，为半径的球面。
12.（I）解：

代入（-1，-1）、（0，）
得：
（II）证明：

设
∴