四川省眉山市高中2013届高三上学期第一次诊断性考试数学（文）试题.doc

眉山市高中2013届高三上学期第一次诊断性考试
数学（文）试题
2013.01
注意事项：
  1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
  2.答选择题时,必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.
  3.答非选择题时,必须使用0.5毫米的黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.
  4．所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.
  5. 考试结束,将答题卡上交.
参考公式：如果事件A、B互斥,那么
如果事件A、B相互独立,那么
如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为
一．选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个备选项中．只有一项是符合题目要求的．
1．若集合,,则
A.{} B. {} C. {} D. {}
2. 设i是虚数单位,则复数(1−i)−等于
A．0 B．2 C．4i D．−4i
3. 某商场有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种,现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本,则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是
A．4 B．5 C．6 D．7
4. 若Sn是等差数列{an}的前n项和,且S8−S3=20,则S11的值为
是
否
结 束
开 始
输入x
x>1?
输出y
y=
y=x—1
A.44 B.22 C. D.88
5. ①集合A={0,1}的子集有3个；
②命题“若x2=1,则x=1”的否命题为：“若x2=1,则x¹1”．
③命题“"xÎR,均有x2−3x−2≥0”的否定是:“$xÎR,使得x2−3x−2≤0”
④“命题pÚq为真”是“命题pÙq为真”的必要不充分条件.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6. 执行右边的框图,若输出的结果为,则输入的实数x的值是
A． B． C． D．
7．把函数f(x)=(2x+)的图象向右平移个单位,得到的函数的解析式为
A. 2x B. 2x C. (2x+) D. −(2x+)
o
x
y
B
o
x
y
A
o
x
y
C
o
x
y
D
8. 函数f(x)=的大致图像为
9．关于两条不同的直线、与两个不同的平面、,下列命题正确的是
A．m//,n//且//,则m//n B．m^,n^且^,则m//n
C．m^,n//且//,则m^n D．m//,n^且^,则m//n
10．若函数y=f(x)(xÎR)满足f(x+1)=f(x−1),且xÎ[−1,1]时f(x)=1−x2,函数,则函数h(x)=f(x)−g(x)在区间[−5,4]内的零点的个数为
A．7 B．8 C．9 D．10

二．填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填写在答题卡的相应位置.
11．已知平面向量=(3,1),=(x,−3),//,则x等于 −9 ;
12. 设x,y满足约束条件,则目标函数z=3x−2y的最大值为___4___.
正视图

侧视图
2
2
俯视图

2
13.在面积为1的正方形ABCD内部随机取一点P,则DPAB的面积大于等于的概率是__ __．
14. 已知空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 ;
15. 定义在区间上的连续函数y=f(x),如果$Î[a,b],使得f(b)−f(a)=(b−a),则称为区间[a,b]上的“中值点”．
下列函数：①f(x)=3x+2；②f(x)=x2−x+1；③f(x)=(x+1)；④f(x)=(x−)3中,在区间上“中值点”多于一个的函数序号为____ ①④_____．(写出所有满足条件的函数的序号)
三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16(本小题12分)在锐角DABC中,三个内角A,B,C所对的边依次为a,b,c,设=((−A),1),=(2(+1),−1),a=2,且·=−.
(1)若b=2,求DABC的面积；
(2)求b+c的最大值.
解:·=2(−A)(+A)−1=2(−A)(−A)−1=(−2A)−1=2A−1=−,
\2A=−, ………3分
∵0<A<,\0<2A<,\2A=,A= ………4分
设△ABC的外接圆半径为R,由a=2RA得2=2R´,\R=2
由b=2RB得B=,又b<a,\B=, ………5分
\C=(A+B)=AB+AB=·+·=, ………6分
\DABC的面积为S=abC=·2·2·=3+.………7分
(2)解法1：由a2=b2+c2−2bcA,得b2+c2−bc=12, ……9分
\(b+c)2=3bc+12£3()2+12, ……11分
\(b+c)2£48,即b+c£4,(当且仅当b=c时取等号)
从而b+c的最大值为4. ……12分
解法2：由正弦定理得:====4,又B+C=−A=, ……(8分)
\b+c=4(B+C)=4[B+(−B)]=6B+2B=4(B+),……10分
\当B+=,即B=时,b+c取得最大值4. ……12分

17(本小题12分)如图,从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名,将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形,回答下列问题：

(1)79.5~89.5这一组的频数、频率分别是多少？
(2)估计这次环保知识竞赛的及格率(60分及以上为及格).
(3)从一副扑克牌中提取数字为1,2,3,4,5,6的6张牌,然后从这6张牌中随机抽取3张,求抽到1或4的概率.
解:(1)频率为:，频数:……………………(3分)
(2)………………(6分)
(3)所有的抽法可能为:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,2,6),(1,3,4), (1,3,5), (1,3,6), (1,4,5), (1,4,6), (1,5,6), (2,3,4), (2,3,5), (2,3,6), (2,4,5), (2,4,6), (2,5,6), (3,4,5), (3,4,6), (3,5,6), (4,5,6).………………………………(10分)
所以总共有:20种抽法，抽到1或4的有16种，所以:所求的概率为P=16÷20=0.8
…………………………………………………………………………………………(12分)
18(本小题12分)如图,ABCD是梯形,AB∥CD,,PA⊥面ABCD,且AB=1,AD=1,CD=2,PA=3,E为PD的中点.
(1)求证：AE∥面PBC；
(2)求直线PC与平面ABCD所成角的余弦值.
解:(1)取PC中点为F，连接EF，BF.……(1分)
又E为PD的中点，所以EF∥DC且EF=
所以EF∥AB，且EF=AB，
所以ABFE为平行四边形，………………(3分)
所以AE∥BF，因为面PBC，BF面PBC，
所以AE∥面PBC.…………………………(6分)
(2)

∵PA=3，PC=,……………………(10分)
∴Rt△PCA中,cos∠PCA=……12分

19(本小题12分)已知数列{an}中,a1=6,an+1=an+1,数列{bn},点(n,bn)在过点A(0,1)的直线l上,若l上有两点B、C,向量=(1,2).
(1)求数列{an},{bn}的通项公式；
(2)设cn=n·2,试求数列{cn}的前n项和
解:(1)∵an+1−an=1且a1=6,\an=n+5 ………1分
设l上任意一点P(x,y),则=(x,y−1),由已知可得//.
\y=2x+1,又过点(n,bn) \bn=2n+1 ………4分
(2)
6分
8分
两式相减得: 9分
11分
12分

20 (本小题12分)已知函数f(x)=.
(1)在a>0时求f(x)的单调区间(不必写过程);
(2)若a>0,x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0,|xi|>(i=1,2,3),
求证:f(x1)+f(x2)+f(x3)>2.
解：整理得：f(x)=ax+
(1)当a£0时, f(x)的减区间为(−¥,0)和(0,+¥);
当a>0时, f(x)的减区间为(−,0)和(0,),增区间为(−¥,−)和(,+¥)………5分
(2) 证明:由条件知：x1,x2,x3中至多一个负数. ………6分
(ⅰ)若x1,x2,x3都为正数,由(1)可知|xi|>时,f(|xi|)>f()=2 (i=1,2,3)
\ f(x1)+f(x2)+f(x3)>6>2 ………9分
(ⅱ)若x1,x2,x3中有一负数,不妨设x3<0.
∵x2+x3>0且|x3|>,
\x2>−x3>
\f(x2)>f(−x3)=−f(x3)(∵f(x)为奇函数)
\f(x2)+f(x3)>0
\ f(x1)+f(x2)+f(x3)>f(x1)>f()=2 ………12分
综上,f(x1)+f(x2)+f(x3)>2. ………13分
21 (本小题14分)已知函数f(x)=x−kx+1.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若f(x)£0恒成立,试确定实数k的取值范围;
(3)证明:<(nÎN*,N>1).
解:(1)=−k(x>0). ………1分
\①当k£0时,>0,f(x)的增区间为(0,+¥); ………2分
②当k>0时,由−k³0得0<x£,由−k£0得x³,
即当k>0时, f(x)的增区间为(0,],递减区间为[,+¥).………4分
(2)由(1)可知:当k£0时,f(x)无最大值,不合题意, ………5分
\k>0,
由(1)的②知f(x)在x=取得最大值.
\f(x)£0恒成立的条件是f()=£0, ………7分
解得k³1.
从而,所求k的取值范围是[1,+¥). ………8分
(3)证明:由(2)可得,当k=1时,f(x)=x−x+1<0在(1,+¥)上恒成立,
令x=n2,得n2<n2−1(n>1), ………10分
即<. ………11分
\++…+<[1+2+…+(n−1)]=