湖北省黄冈中学2012-2013学年高二上学期期中考试数学（理）试题.doc

湖北省黄冈中学2012年秋季高二数学（理）期中考试试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1． 下列说法中正确的有（ ）
A．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据
B．一组数据不可能有两个众数
C．一组数据的中位数一定是这组数据中的某个数据
D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大
答案：D
解析：一组数据的平均数介于这组数据中的最大数据与最小数据之间，所以A错；众数是一组数据中出现最多的数据，所以可以不止一个，B错；若一组数据的个数有偶数个，则其中中位数是中间两个数的平均值，所以不一定是这组数据中的某个数据，C错；一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大，D对．
2． 把化为十进制数为（ ）
A．20 B．12 C．10 D．11
答案：C

3． 将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 名教师和名学生组成，不同的安排方案共有( )
A．12种 B．10种 C．9种 D．8种
答案：A
解析：先安排老师有种方法，在安排学生有，所以共有12种安排方案
图1
4．某程序框图如图1所示，现输入如下四个函数:
，，，，
则可以输出的函数是（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
解析：有程序框图可知可以输出的函数既是奇函数，又要存在零点．满足条件的函数是B．
5．设不等式组表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离小于等于2的概率是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：平面区域的面积为4，到坐标原点的距离小于等于2的点所到区域为，有几何概型的概率公式可知区域内一个点到坐标原点的距离小于等于2的概率为．
6．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间的人做问卷，编号落入区间的人做问卷，其余的人做问卷．则抽到的人中，做问卷的人数为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．15
答案：C
解析：方法一：从960中用系统抽样抽取32人，则每30人抽取一人，因为第一组号码为9，则第二组为39，公差为30.所以通项为，由，即，所以，共有人．
方法二：总体中做问卷有450人，做问卷有300人，做问卷有210人，则其比例为15：10：7．抽到的32人中，做问卷有人．
图2
7．如图2是歌手大奖赛中，七位评委给甲、乙两名选手打出的分数的
茎叶图(其中m为0～9中的一个正整数)，现将甲、乙所得的一个最
高分和一个最低分均去掉后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为
,中位数分别为,则有(　 　)
A． , ， B． , [来源:]
C． , ， D．与大小均不能确定
答案：B
解析：将甲、乙所得的一个最高分和一个最低分均去掉后，甲的分数为85，84，85，85，81；
乙的分数为84，84，86，84，87．则 ； ．
8．2012年伦敦奥运会某项目参赛领导小组要从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中甲、乙只能从事前三项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 (　 　)
A．18种 B．36种 C．48种 D．72种
答案：D
解析：分两类：第一类，甲、乙两人只选一人参加，共有：；
第二类：甲乙两人都选上，共有：，有分类计数原理，得不同的选派方案共有72种．
图3
9．如图3甲所示，三棱锥的高，，，M、N分别在和上，且，，图乙中的四个图像大致描绘了三棱锥的体积V与的变化关系，其中正确的是（ ）

答案：A
解析： , ,

是抛物线的一部分．
10．函数的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该等比数列的公比的数是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：函数等价为，表示为圆心在半径为3的上半圆，圆上点到原点的最短距离为2，最大距离为8，若存在三点成等比数列，则最大的公比应有，即，最小的公比应满足，所以，所以公比的取值范围为，所以不可能成为该等比数列的公比．
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置上．)
11．若的展开式中各项的系数和为27，则实数的值是_________．
答案：4
解析：令 ， 则有．
12．已知向量，，其中随机选自集合，随机选自集合，那么
的概率是 ．
答案：
解析：则基本事件空间包含的基本事件有：(-1，1)，(-1，3)，(-1，9)，
(1，1)，(1，3)，(1，9)，(3，1)，(3，3)，(3，9)，共9种．
则．事件“”包含的基本事件有(1，3), (3，9)，共2种．

图4
∴的概率为．
13．如图4是某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是等边三角形，
等腰三角形和菱形，则该几何体体积为 ．

答案：
解析：有三视图可知几何体是底面为菱形，对角线分别为2和，顶点在底面的射影为底面菱形对角线的交点，高为3，所以体积为．
14．如图5是某算法的程序框图,则程序运行后输入的结果是_________．

开始
结束

输出T

是
是
否
否
图5

答案：3
解析：当 当当
当当，则此时，所以输出．
15．甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数，对仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数，当时，甲获胜，否则乙获胜。若甲获胜的概率为，则的取值范围是_________．
答案：
解析：有题意可得：

三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
16．（本小题满分12分）已知二项式(N*)展开式中，前三项的二项式系数和是，求：（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）展开式中的常数项．
16．解析：(Ⅰ) …………… 2分
(舍去)． …………… 5分
(Ⅱ) 展开式的第项是，
， …………… 10分
故展开式中的常数项是． …………… 12分
17．（本题满分12分）某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，
图6
将其期中考试的政治成绩（均为整数）分成六段： ，
，…， 后得到如下频率分布直方图6．
（Ⅰ）求分数在内的频率；
（Ⅱ）用分层抽样的方法在80分以上（含80分）
的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样
本看成一个总体，从中任意选取2人，
求其中恰有1人的分数不低于90分的概率．
17解析：（Ⅰ）分数在内的频率为：
………4分
（Ⅱ）由题意，分数段的人数为：人
分数段的人数为：人； ………6分
∵用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，
∴分数段抽取5人，分数段抽取1人，[来源:
因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分，则另一人的
分数一定是在分数段，所以只需在分数段抽取的5人中确定1人．
设“从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分为”事件， ．12分
18．（本题满分12分）号码为1、2、3、4、5、6的六个大小相同的球，放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每个盒子只能放一个球．
（Ⅰ）若1号球只能放在1号盒子中，2号球只能放在2号的盒子中，则不同的放法有多少种？
（Ⅱ）若3号球只能放在1号或2号盒子中，4号球不能放在4号盒子中，则不同的放法有多少种？
（Ⅲ）若5、6号球只能放入号码是相邻数字的两个盒子中，则不同的放法有多少种？
18.解析：（Ⅰ）1号球放在1号盒子中，2号球放在2号的盒子中有（种）． ………4分
（Ⅱ）3号球只能放在1号或2号盒子中，则3号球有两种选择，4号球不能放在4号盒子中，则有4种选择，则3号球只能放在1号或2号盒子中，4号球不能放在4号盒子中有（种）．
（Ⅲ）号码是相邻数字的两个盒子有1与2、2与3、3与4、4与5、5与6共5种情况，
则符合题意的放法有（种）． ………12分
19．（本小题共12分）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：

“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱[来源:]
“其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率；
（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率；
（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为，其中，。当数据的方差最大时，写出的值（结论不要求证明），并求此时的值．
（注：，其中为数据的平均数）
19．解析：（Ⅰ）厨余垃圾投放正确的概率约为
= ………4分
（Ⅱ）设生活垃圾投放错误为事件A,则事件表示生活垃圾投放正确.
事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量
与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量,
即P()约为.所以P(A)约为1-0.7=0,3. ………8分
（Ⅲ）当,时,取得最大值.因为,
所以. ………12分

图7
20．（本题满分13分）如图7，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O直径．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）设，在圆柱内随机选取一点，记该点取自于三
棱柱内的概率为．
（i） 当点C在圆周上运动时，求的最大值；
（ii）记平面与平面所成的角为，当取最大值时，求的值．
20解析：（Ⅰ）因为平面ABC，平面ABC，所以，
因为AB是圆O直径，所以，又，所以平面，
而平面，所以平面平面． ………3分
（Ⅱ）（i）有AB=AA1=2，知圆柱的半径，其体积

三棱柱的体积为，
又因为，所以，
当且仅当时等号成立，从而，
故当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值是． …………8分
Q
G
K
H
(ii）方法一：延长A1A，B1O交于G，取AC中点H，连OH，则OH∥BC，且，OH⊥平面，过H作HK⊥CG，连OK，则，在Rt中，作，则 有，则，在Rt中，，
方法二：取AC中点H，可用射影面积法[来源:]
方法三：由（i）可知，取最大值时，，
于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则C（1，0，0），B（0，1，0），（0，1，2），
因为平面，所以是平面的一个法向量，
设平面的法向量，由，故，
取得平面的一个法向量为，因为，
所以． ………13分
21．（本题满分14分）在平面直角坐标系中，已知圆，
圆．
（Ⅰ）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；
D
P
P
F
C1
E
O
x
y
（Ⅱ）圆是以1为半径，圆心在圆：上移动的动圆 ，
若圆上任意一点分别作圆 的两条切线，
切点为，求的取值范围 ；
（Ⅲ）若动圆同时平分圆的周长、圆的周长，
如图8所示，则动圆是否经过定点？若经过，
求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．

21解析：（Ⅰ）设直线的方程为，即和．
因为直线被圆截得的弦长为，而圆的半径为1，
所以圆心到：的距离为．
化简，得，解得或．
所以直线的方程为或 ………4分
（Ⅱ） 动圆D是圆心在定圆上移动，半径为1的圆

才

设，则在中，， 有,
则
由圆的几何性质得，，即，
则的最大值为，最小值为. 故. ………9分
（Ⅲ）设圆心，由题意，得，
即．
化简得，即动圆圆心C在定直线上运动．
设，则动圆C的半径为．
于是动圆C的方程为．
整理，得．
由得或
所以定点的坐标为，． ………14分