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习题7
7-2 三个平行金属板，和的面积都是200cm2，和相距4.0mm，与相距2.0 mm．，都接地，如题7-2图所示．如果使板带正电3.0×10-7C，略去边缘效应，问板和板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零，则板的电势是多少?
解: 如题7-2图示，令板左侧面电荷面密度为，右侧面电荷面密度为
题7-2图
(1)∵ ，即
∴
∴
且 +
得
而
(2)
7-3 两个半径分别为和（＜)的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+，试计算：
(1)外球壳上的电荷分布及电势大小；
(2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势；
*(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量．
解: (1)内球带电；球壳内表面带电则为,外表面带电为，且均匀分布，其电势
题7-3图
(2)外壳接地时，外表面电荷入地，外表面不带电，内表面电荷仍为．所以球壳电势由内球与内表面产生：
(3)设此时内球壳带电量为；则外壳内表面带电量为，外壳外表面带电量为 (电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且
得
外球壳上电势
7-4 半径为的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为处有一点电荷+，试求：金属球上的感应电荷的电量．
解: 如题8-24图所示，设金属球感应电荷为，则球接地时电势
7-4图
由电势叠加原理有：
得
7-5有三个大小相同的金属小球，小球1，2带有等量同号电荷，相距甚远，其间的库仑力为．试求：
(1)用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1，2后移去，小球1，2之间的库仑力；
(2)小球3依次交替接触小球1，2很多次后移去，小球1，2之间的库仑力．
解: 由题意知
(1)小球接触小球后，小球和小球均带电
,
小球再与小球接触后，小球与小球均带电
∴ 此时小球与小球间相互作用力
(2)小球依次交替接触小球、很多次后，每个小球带电量均为.
∴ 小球、间的作用力
7-6如题7-6图所示，一平行板电容器两极板面积都是S，相距为，分别维持电势=，=0不变．现把一块带有电量的导体薄片平行地放在两极板正中间，片的面积也是S，片的厚度略去不计．求导体薄片的电势．
解: 依次设,,从上到下的个表面的面电荷密度分别为，，，,,如图所示．由静电平衡条件，电荷守恒定律及维持可得以下个方程
题7-6图
解得
所以间电场
注意：因为片带电，所以，若片不带电，显然
7-7 在半径为的金属球之外包有一层外半径为的均匀电介质球壳，介质相对介电常数为，金属球带电．试求：
(1)电介质内、外的场强；
(2)电介质层内、外的电势；
(3)金属球的电势．
解: 利用有介质时的高斯定理
(1)介质内场强
;
介质外场强
(2)介质外电势
介质内电势
(3)金属球的电势
7-8如题7-8图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为的电介质．试求：在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值．
解: 如题7-8图所示，充满电介质部分场强为，真空部分场强为，自由电荷面密度分别为与
由得
，
而 ,
∴
题7-8图
7-9 金属球壳和的中心相距为，和原来都不带电．现在的中心放一点电荷，在的中心放一点电荷，如题8-30图所示．试求：
(1) 对作用的库仑力，有无加速度；
(2)去掉金属壳，求作用在上的库仑力，此时有无加速度．
解: (1)作用在的库仑力仍满足库仑定律，即
但处于金属球壳中心，它受合力为零，没有加速度．
(2)去掉金属壳，作用在上的库仑力仍是，但此时受合力不为零，有加速度．
题7-9图
7-10 半径为=2.0cm 的导体球，外套有一同心的导体球壳，壳的内、外半径分别为=4.0cm和=5.0cm，当内球带电荷=3.0×10-8C时，求：
(1)整个电场储存的能量；
(2)此电容器的电容值．
解: 如图，内球带电，外球壳内表面带电，外表面带电
题7-10图
(1)在和区域
在时
时
∴在区域
在区域
∴ 总能量
(2)电容器电容
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