第二十六章二次函数（测试题）.doc

第二十六章 二次函数
一、填空题
1．抛物线y＝－x2＋2的顶点坐标是________，对称轴是________，开口向________．
2．把抛物线y＝3x2 沿x轴向________平移________个单位即可得到抛物线y＝3(x－1)2；把抛物线y＝3x2 沿y轴向________平移________个单位即可得到抛物线y＝3x2＋2．
3．抛物线y＝x2－3x与x轴的交点坐标是________________________．抛物线y＝
－x2＋3x－5与y轴的交点坐标是____________．
4．抛物线y＝2(x－3)2＋5，当x ＜________时，y的值随x值的增大而________，当x＞________时，y的值随 x 值的增大而________；当x＝________时，y取得最________值，最________值＝________．
5．已知二次函数y＝－4x2－2mx＋m2与反比例函数y＝的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是－2，则m的值是　 　．
6．函数的图象与轴有交点，则k的取值范围是 ．
7．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过第二，三，四象限，则a 0，b 0，c 0．
8．顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为 ．
9．对称轴是y轴且过点A（1，3），点B（－2，－6）的抛物线的解析式为 ．顶点坐标为______________．
10．已知二次函数，则当m＝ 时，其最大值为0．
11．若二次函数的图象经过原点，则m＝_________．
12．已知二次函数的图象关于y轴对称，则m＝________．
13．抛物线y＝3x2－6x＋5化成顶点式是______________，当x_____时，y随x的增大而减少；当x_____时，y随x的增大而增大．
14．一男生推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y＝－＋＋，则铅球推出的水平距离为______________m．
二、选择题
1．二次函数y＝x2－(12－k)x＋12，当x＞1时，y随着x的增大而增大，当x＜1时，y随着x的增大而减小，则k的值应取（ ）．
A．12 B．11 C．10 D．9
2．下列四个函数中，y的值随着x值的增大而减小的是（ ）．
A．y＝2x B．(x＞0) C． D．(x＞0)
3．如果抛物线y＝x2－6x＋c－2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（ ）．
A．8 B．14 C．8或14 D．－8或－14
4．当a＞0，b＜0，c＞0时，下列图象有可能是抛物线y＝ax2＋bx＋c的是（ ）．

5．不论x为何值，函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的值恒大于0的条件是（ ）．
A．a＞0，Δ＞0 B．a＞0，Δ＜0 C．a＜0，Δ＜0 D．a＜0，Δ＜0
6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则abc，b2－4ac，2a＋b，a＋b＋c这四个式子中，值为正数的有（ ）．
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
(第6题)

三、解答题
1．根据条件求二次函数的解析式：
（1）抛物线过（－1，0），（3，0），（1，－5）三点，并求出x在2≤x≤4范围内的最大或最小值．

（2）抛物线在x轴上截得的线段长为4，且顶点坐标是（3，－2）．

（3）二次函数的图象经过点（－1，0），（3，0），且最大值是3．

2．已知点A（－2，－c）向右平移8个单位得到点，A与两点均在抛物线y＝
ax2＋bx＋c上，且这条抛物线与y轴的交点的纵坐标为－6，求这条抛物线的顶点坐标．

3．如图有一座抛物线形拱桥，桥下面的正常水位时AB宽20 m，水位上升3 m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10 m．
（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式．
(第3题)

（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2 m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时水到拱桥顶？

4．已知抛物线y＝－x2＋5x＋n经过点A（1，0），与y轴交于B点，
（1）求抛物线解析式；
（2）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，求P点坐标．
(第4题)

(第5题)

5．已知，如图二次函数的图象与x轴两交点A，B间的距离为8，顶点为C，此二次函数的图象与y轴的交点的纵坐标为6，且△ABC的面积为32，求此二次函数的解析式．

6．如图，对称轴为直线x＝的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？
(第6题)
②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

第二十六章 二次函数
参考答案
一、填空题：
1．（0，2），y轴，下．
解析：顶点坐标x＝－＝0，y＝＝2，a＝－1＜0，开口向下．
2．右，1，上，2．
解析：由y＝3(x－1)2可知将y＝3x2的图像右移1个单位即可得到；y＝3x2＋2可由
y＝3x2的图像向上平移2个单位即得．
3．（0，0），（3，0），（0，－5）．
解析：令y＝0，x2－3x＝0，x1＝0，x2＝3；与x轴的交点（0，0），（3，0）；当x＝0时，y＝－5，与y轴的交点（0，－5）．
4．3，减小，3，增大，3，小，小，5．
解析：该抛物线的开口向上，对称轴为x＝3，当x＜3时y随x的增大而减小；当x＞3时y随x的增大而增大；x＝3时，y有最小值5．
5．－7．
解析：y＝，y＝－4×(－2) 2－2m(－2)＋m2，∵ y1＝y2，化简得m2＋5m－14＝0，∴ m1＝－7，m2＝2，反比例函数在第二，四象限，2m＋4 ＜0，∴ m＝2舍去．
6．k≤3．
解析：Δ＝36－12k ≥0．
7．＜，＜，＜．
解析：抛物线开口向下，则a＜0，而－＜0，则b＜0，c＜0．
8．y＝－(x＋2)2－5＝－x2－4x－9．
解析：y＝a(x＋2)2－5，当x＝1时，y＝－14，－14＝9a－5，a＝－1．
9．y＝－3x2＋6，（0，6）．
解析：设y＝ax2＋k，a＋k＝3，4a＋k＝－6可解得a＝－3，k＝6，y＝－3x2＋6．
10．．
解析：＝0，m1＝，m2＝2，又m－1＜0， ∴ m＜1，
∴ m＝．
11．2．
解析：当x＝0时，y＝0，2m－m2＝0，m1＝0（舍去），m2＝2．
12．1．
解析：抛物线关于y轴对称，则b＝0. 令m2－m＝0得m＝1或m＝0（舍去）．
13．y＝3(x－1)2＋2， ＜1，＞1．
解析：y＝3x2－6x＋5＝3(x－1)2＋2 ，对称轴：直线x＝1．
14．10．
解析：当y＝0时，－x2＋x＋＝0，x1＝10，x2＝－2（舍去）．
二、选择题
1．C
解析：∵ ＝－＝＝1，∴ k＝10．
2．B
解析：参考4个函数的图象，y＝(x＞0)满足要求．
3．C
解析：y＝(x－3)2＋c－11，∴ ＝3，∴ c1＝14或c2＝8．
4．A
解析：∵ a＞0，b＜0， ∴ －＞0，抛物线的顶点可能在第一或第四象限，
而c＞0，则A图满足条件．
5．B
解析：图象开口向上，且与x轴无交点，所以a＞0且Δ＜0．
6．B
解析：∵ a＞0，＞0，c＜0．∴ a＞0，b＜0，c＜0，∴ abc＞0，又∵ ＜1，
∴ ＞－1，b＞－2a，即2 a＋b＞0．
又图像与x轴有两个交点，∴Δ＞0．当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0．
∴ 四个式子中，值为正数的有3个．
三、解答题
1．（1）解：设抛物线解析式为y＝a(x＋1)(x＋3)．
∵ 当x＝1时，y＝－5，
∴（1＋1）（1－3）a＝－5，
∴ a＝．
∴ y＝(x＋1)(x－3)＝x2－x－＝(x－1) 2－5．
当x＞1时，y随x增大而增大．
∴ 当x＝2时，y最小＝－；
当x＝4时，y最大＝．
∴ 当2≤x≤4时，函数最小值为－，最大值为．
（2）解：设抛物线与x轴交于点A（x1，0）B(x2，0)，x1＜x2．
∵ 顶点（3，－2），AB＝4，
∴ A（1，0），B（5，0）．
设抛物线y＝a(x－1)(x－5) ．
当x＝3时，y＝－2．
∴ a(3－1)(3－5)＝－2．
∴ a＝．
∴ y＝（x－1）（x－5）＝x2－3x＋．
（3）解：∵ 二次函数图像经过点（－1，0），（3，0），
∴ 对称轴是直线 x＝＝1．
∴ 顶点坐标是（1，3）．
设抛物线解析式为y＝a(x－1) 2＋3．
∵ 当 x＝－1时，y＝0，
∴ (－1－1) 2a＋3＝0．
∴ a＝－，
∴ y＝－(x－1) 2＋3．
2．解：由题意：A′（－2＋8，－c）即A′（6，－c）．
∴ 4a－2b＋c＝－c，36a＋6b＋c＝－c，c＝－6，
解得a＝1，b＝－4，c＝－6．
∴ y＝x2－4x－6＝(x－2) 2－10．
∴ 顶点坐标是（2，－10）．
3．解：（1）设AB，CD分别交y轴于点E，F．
则DF＝CD＝5，EB＝AB＝10．
设D（5，m），则B（10，m－3）．
设抛物线解析式为y＝ax 2（a≠0）．
∴ 25a＝m，100a＝m－3．
∴ a＝－，m＝－1．
∴ y＝－x 2．
（2）由（1）得m＝－1，∴ OF＝1，＝5（小时）．
答：从警戒线开始，再持续5小时水到拱桥顶．
4．解：（1）∵ 抛物线过线A（1，0），
∴ －1＋5＋n＝0．
∴ n＝－4．
∴ y＝－x2＋5x－4．
（2）由（1）得：B（0，－4），∵ P是y轴正半轴上一点，
①若AP＝AB，则OP＝OB＝4，∴ P1（0，4）．
②若BA＝BP，则BP＝＝，∴ OP＝－4，
∴ P2（0，－4）．
∴ P1（0，4），P2（0，－4）为所求P点．
5．解：设顶点C（h，k）．
∵ S△ABC＝32，
∴ AB×EC＝32．
∴ ×8×（－k）＝32，k＝－8．
∵ A，B间的距离是8，
∴ A（h－4，0），B（h＋4，0）．
设抛物线为y＝a(x－h) 2＋k．
则y＝a(x－h) 2－8．
∵ 点A在抛物线上，
∴ a(h－4－h) 2－8＝0．
∴ a＝．
∴ y＝(x－h) 2－8．
又∵ D(0，6)是抛物线与y轴的交点，
∴ h2－8＝6，∴ h＝±2．
∵ h＞0，∴ h＝2．
∴ y＝(x－2)2－8．
6．解：（1）设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得 －＝，36a＋6b＋c＝0，c＝4．
∴ a＝，b＝－，c＝4．
∴ y＝x2－x＋4＝(x－)2－．
∴ 顶点坐标（，－）．
（2）∵点E（x，y）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合y＝(x－)2－，
∴ y＜0，即－y＞0，－y表示点E到OA的距离．
∵ OA是平行四边形OEAF的对角线，
∴ S＝2S△OAE＝2×OA×＝－6y＝－4(x－)2＋25．
∵ 抛物线与x轴交于（1，0），（6，0），
∴ 0＜x＜6．
当S＝24时，－4(x－)2＋25＝24．
解得x1＝3，x2＝4．
∴ E1（3，－4），E2（4，－4）．
①当E1（3，－4）时，OE＝AE，∴平行四边形OEAF是菱形．
当E2（4，－4）时，OE≠AE，∴平行四边形OEAF不是菱形．
②不存在．
当OA⊥EF且OA＝EF时，平行四边形OEAF是正方形．
此时点E的坐标只能是（3，－3），
但点（3，－3）不在抛物线上，
∴ 不存在这样的点，使平行四边形OEAF是正方形．
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