初中数学竞赛专题选讲-非负数.doc

初中数学竞赛专题选讲(初三.4)
非负数
一、内容提要
1. 非负数的意义：在实数集合里，正数和零称为非负数.
a是非负数，可记作a≥0,读作a大于或等于零，即a不小于零.
2. 初中学过的几种非负数：
⑴实数的绝对值是非负数.　若a是实数，则≥0.
⑵实数的偶数次幂是非负数.　若a是实数，则a2n≥0（n是正整数）.
⑶算术平方根是非负数，且被开方数也是非负数.　
若是二次根式，则≥0，　a≥0.
⑷一元二次方程有实数根时，根的判别式是非负数，反过来也成立.
　若二次方程ax2+bx+c=0　(a≠0) 有两个实数根， 则b2－4ac≥0.
　若b2－4ac≥0　(a≠0)， 则二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根.
⑸数轴上，原点和它的右边所表示的数是非负数，几何中的距离，图形中的线段、面积、体积的量数也都是非负数.
3. 非负数的性质：
⑴非负数集合里，有一个最小值，它就是零.
例如：a2有最小值0（当a=0时）， 也有最小值0（当x=－1时）.　　
⑵如果一个数和它的相反数都是非负数，则这个数就是零.
　　　　若a≥0且－a ≥0，　　则a=0；
如果a－b≥0且b－a≥0，那么a－b=0.
⑶有限个非负数的和或积仍是非负数.
例如：若a，b，x都是实数数，则a2+b2≥0,　　×≥0,　　a2≥0.
⑷若几个非负数的和等于零，则每一个非负数也都只能是零.
　　例如　若（b＋3）2+=0
那么　　　即　　　∴.

二、例题
例1. 求证：方程x4+3x2+2x+6=0没有实数根
　证明：把方程左边分组配方，得
　　　（x4+2x2+1）+(x2+2x+1)+4=0
　　　即（x2+1）2+(x+1)2=－4
∵（x2+1）2＞0，(x+1)2≥0，
∴（x2+1）2+(x+1)2≥0.
但右边是－4.
∴不论x取什么实数值，　等式都不能成立.
∴方程x4+3x2+2x+6=0没有实数根.
例2. a取什么值时，根式有意义？
　解：∵二次根式的被开方数（a－2）(与(a－2)(1－都是非负数，
且（a－2）(与(a－2)(1－是互为相反数，
∴（a－2）(＝0.　　（非负数性质2）
∴a－2=0；或 =0.
∴a1=2, 　 a2=1, 　a3=－1.
答：当 a=2或a=1或a=－1时，原二次根式有意义.
例3. 要使等式（2－x）2+＝0成立，x的值是＿＿＿＿.
（1991年泉州市初二数学双基赛题）
解：要使原等式成立∵（2－x）2≥0，　∴≤0.
∴＝＝－1，(x－4≠0)
∴（2－x）2＝1，且x－4<0.
即　解得
　　　　　　　　　　　∴x=3 .
答：x的值是3.
例4. 当a,　b取什么实数时，方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有实数根？
（1987年全国初中数学联赛题）
解：∵当△≥0时，方程有实数根.
解如下不等式：
　　　［2（1＋a）］2－4(3a2+4ab+4b2+2)≥0
－8a2－16ab－16b2+8a－4≥0，　
2a2+4ab+4b2－2a+1≤0，
（a+2b）2+(a－1)2≤0　①
∵（a+2b）2≥0且(a－1)2≥0，
　　得（a+2b）2+(a－1)2≥0　②
∴只有当（a+2b）2＝0且(a－1)2＝0　不等式①和②才能同时成立.
答：当a=1且b=－时，方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有实数根.
三、练习
1. 已知在实数集合里有意义，则　x=____.
2. 要使不等式（a+1）2≤0成立，实数a=_____.
3. 已知＝0，则　a=＿＿,　b=＿＿,　a100b101=____.
4. 把根号外因式移到根号里：
①　－a=＿＿＿， ②　b=＿＿＿＿， ③－c=＿＿＿＿.
5.如果a<b,那么等于（　　）
（A）（x+a）. 　　　 (B) （x+a）.
(C) －（x+a）. 　　 (D) －（x+a）.
（1986年全国初中数学联赛题）
6. 已知a是实数且使a=,　　则x=＿＿＿＿.
(1990年泉州市初二数学双基赛题)
7.　已知a,　b 是实数且a.
　化简后的值是＿＿＿＿.
(1990年泉州市初二数学双基赛题)
8.　当x=＿＿时，－（x＋）有最大值＿＿＿.
（1986年泉州市初二数学双基赛题）
9.　已知：　且,　都是整数.求a,　c的值.
（1989年全国初中数学联赛题）
10.　求方程x2+y2+x2y2+6xy+4=0的实数解.
11.　求适合不等式2x2+4xy+4y2－4x+4≤0的未知数x的值.
12.　求证：不论k取什么实数值，方程x2+(2k+1)x－k2+k=0都有不相等的实数解.
13.　比较a2+b2+c2与ab+bc+ca的大小.
14.已知方程组的解x,y,z 都是非负数.　　求a的值.

练习题参考答案
1.　3　　　　　2.　－1　　　　　3.　1，－1，－1　　
4.　①－，　②－，　　③　　　　　　　5.　C
6.　0。　　因为左边　a≤0，　　右边≥0。　　
7.　 －a。 ∵ b=1,a　　　　　　　8.　x=－, 最大值
9.　　　　　　　　
10.　　　　　　　　11
12. 　△＝8k2+1 ……13. 　用求差法，　配方（乘上2×0.5）
14.　　－＜1

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