无锡市2010届高三上学期期末质量调研（数学）.doc

无锡市2010届高三上学期期末质量调研
数 学 试 题

考生注意：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题—第20题）两部分。本试卷满分160分，考试时间120分钟。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置。
3．作答各题时，必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在试卷的制定位置，在其它位置作答一律无效。审编：刘艳娥
4．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
参考公式：
柱体体积公式：；
锥体体积公式：，其中为底面面积，为柱体、锥体的高。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应位置上。
1．已知向量=（1，1）与向量=（，）垂直，则= 。
2．若将复数表示为是虚数单位的形式，则 。
3．若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为 。
4．已知集合，。则= 。
5．今年9月10日，某报社做了一次关于“尊师重教”的社会调查，在A、B、C、D四个单位回收的问卷数一次成等差数列，因报道需要，从回收的问卷中按单位分层抽取容量为300的样本，其中在B单位抽的60份，则在D单位抽取的问卷是 份。
6．直线是曲线的一条切线，则实数的值为 。
7．已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点（2，）与（，0），则双曲线的焦点坐标为 。
8．在可行域内任取一点，规则如流程图所示，则能
输出数对（，）的概率是 。
9．集合，，点P
的坐标为（，），，，则点P
在直线下方的概率为 。
10．设正项等比数列的公比为，且，
则公比 。
11．若一个面体有个面时直角三角形，则称这个
面体的直度为，如图，在长方形—
中，四面体的直度为 。

12．如图，两座相距60的建筑物AB、CD的高度分别为20m、50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 。
13．已知，对一切恒成立，则实数的取值范围为 。
14．已知函数，，若存在，使为的最小值，为的最大值，则此时数对为
。
二、解答题：本大题共六小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本题满分14分）
如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，
（1）若，求，的值；
（2）若，，，且与的夹角为60°时，求 的值。

16．（本题满分14分）
已知正六棱柱的所有棱长均为2，G为AF的中点。
（1）求证：∥平面；
（2）求证：平面⊥平面；
（3）求四面体的体积。

17．（本题满分14分）
设函数的定义域为，
值域为。
（1）求，的值；
（2）若，求的值。

18．（本题满分16分）
设椭圆的左，右两个焦点分别为，，短轴的上端点为B，短轴上的两个三等分点为P，Q，且为正方形。
（1）求椭圆的离心率；
（2）若过点B作此正方形的外接圆的切线在轴上的一个截距为，求此椭圆方程。

19．（本题满分16分）
已知函数为奇函数，
且在处取得极大值2.
（1）求函数的解析式；
（2）记，求函数的单调区间；
（3）在（2）的条件下，当时，若函数的图像的直线的下方，求的取值范围。

20．（本题满分16分）
由部分自然数构成如图的数表，用表示第行第个数（），
使，每行中的其余各数分别等于其“肩膀”上的两个数的之和。设第
行中各数之和为。
（1）求；
（2）用表示；
（3）试问：数列中是否存在不同的三项，，（）恰好成等差数列？若存在，求出，，的关系；若不存在，请说明理由。

数学（理科）加试题

考生注意：
1．本试卷满分40分，考试时间30分钟。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置。
3．作答各题时，必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在试卷的制定位置，在其它位置作答一律无效。
4．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
1．（本题满分8分）
写出的二项展开式（为虚数单位），并计算的值。

2．（本题满分8分）
已知动抛物线的准线为轴，且经过点（0，2），求抛物线的顶点轨迹方程。
3．（本题满分12分）
如图，矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF-90°，BE∥CF，CE⊥EF，AD=，EF=2.
（1）求异面直线AD与EF所成的角；
（2）当AB的长为何值时，二面角A—EF—C的大小为45°?

4．（本题满分12分）
试比较与的大小。
当时，有 填＞、＝或＜
当时，有 填＞、＝或＜
当时，有 填＞、＝或＜
当时，有 填＞、＝或＜
猜想一个一般性结论，并加以证明。

参考答案

一、填空题（每题5分，共70分）
1．2 2．1 3．-1 4．（1，2） 5．120 6．-4 7．（2，0） 8．
9． 10． 11．1 12．45° 13．（-∞，-4）∪（1，+∞） 14．（1，2）
二、解答题
15．（本题满分14分）
（1）∵，
∴，即， 3分
∴，即， 5分
（2）∵，
∴，即 7分
∴ 8分
∴， 9分
10分
12分
14分
16．（本题满分14分）
（1）因为AF∥BE，AF平面，
所以AF∥平面， 2分
同理可证，∥平面， 3分
所以，平面∥平面 4分
又平面，所以∥平面 5分
（2）因为底面是正六边形，所以⊥， 7分
又⊥底面，所以⊥，
因为，所以⊥平面， 9分
又平面，所以平面⊥平面 10分
（3）∵⊥底面，
13分
14分
17．（本题满分14分）
（1） 2分
3分
∵，∴ 4分
， 5分
∵，， 6分
所以，， 8分
， 10分
（2）由（1）可知，时， 12分
所以，
∴. 14分
18．（本题满分16分）
（1）由题意知：，设 2分
因为为正方形，所以 4分
即，∴，即， 6分
所以离心率 8分
（2）因为B（0，3c），由几何关系可求得一条切线的斜率为 10分
所以切线方程为， 12分
因为在轴上的截距为，所以， 14分
所求椭圆方程为 16分
19．（本题满分16分）
（1）由（≠0）为奇函数，
∴，代入得， 1分
∴，且在取得极大值2.
∴ 3分
解得，，∴ 4分
（2）∵，
∴ 5分
因为函数定义域为（0，+∞），所以
（1）当，时，，
函数在（0，+∞）上单调递减； 6分
（2）当时，，∵，
∴
∴函数在（0，+∞）上单调递减； 7分
（3）时，，令，得，∵，
∴，得，
结合，得；
令，得，同上得，，
∴时，单调递增区间为（，），
单调递增区间为（，+∞） 9分
综上，当≤-1时，函数的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间；
当时，函数的单调递增区间为（0，），
单调递减区间为（，+∞） 10分
（3）当时，，
令， 11分
，令=0，，
得，（舍去）.
由函数定义域为（0，+∞）， 13分
则当时，，当时，
∴当时，函数取得最小值1-。 15分
故的取值范围是（1，+∞）。答也正确 16分
20．（本题满分16分）
（1） 2分
（2）

=； 6分
（3）∵，∴ 8分
所以是以为首项，2为公比的等比数列， 9分
则 11分
若数列中存在不同的三项恰好成等差数列，
不妨设，显然是递增数列，则 12分
即2，化简得：
……（*） 14分
由于，且，知≥1，≥2，
所以（*）式左边为偶数，右边为奇数，
故数列中不存在不同的三项恰好成等差数列。 16分

加试题

1．（本题满分8分）
………………3分
因为的展开式中的虚部， …………5分
又， ………………7分
所以 ………………8分
2．（本题满分8分）
设抛物线的顶点坐标为， ……………………3分
由题意得， ………………6分
即顶点的轨迹方程为 ………………8分
3．（本题满分12分）

如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别为作x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系
………………1分

………………2分
（I）
由…………4分
所以
所以， ………………5分
所以异面直线AD与EF成30° ………………6分
（II）设，
结合
解得 ………………8分
又因为BA⊥平面BEFC，
所以 ………………5分
得到 ………………11分
所以当AB为时，二面角A—EF—C的大小为45° ………………12分
4．（本题满分12分）
<，<，>，> ………………2分
当时恒成立。 ………………4分
证明：当成立； ………………6分
假设当……………7分
则当时，
，…………10分
时也成立 ………………11分
时恒成立 ………………12分

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