【数学】北京市石景山区2010届高三上学期期末考试（理）17.doc

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石景山区2009—2010学年第一学期期末考试试卷
高三数学（理科）

考生须知
1. 本试卷为闭卷考试，满分为150分，考试时间为120分钟．
2. 本试卷共10页，其中第10页为草稿纸．各题答案均答在本题规定的位置．

题号
一
二
三
总分
15
16
17
18
19
20
分数

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内．
1．已知全集，，，那么（　　）
A．
B．
C．
D．
2．复数（　　）
A．
B．
C．
D．
3．幂函数的图象过点，那么函数的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
4题图
4．如右图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为的正方形，俯视图是一个直径为的圆，那么这个几何体的表面积为（　　）
A．
B．
C．
D．

5．右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，那么甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（　　）
A．
B．
C．
D．
甲

乙

3
1

8
6
3
2
4
5

9
7
3
2
6
7

1
4
5
7

5题图

6．六名学生从左至右站成一排照相留念，其中学生甲和学生乙必须相邻．在此前提下，学生甲站在最左侧且学生丙站在最右侧的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．在中，，， ，则（ ）
A．或
B． 或
C．
D． 或
8．如果对于函数的定义域内的任意，都有（为常数）成立，那么称为可界定函数，为上界值，为下界值．设上界值中的最小值为，下界值中的最大值为．给出函数，，那么的值（ ）
A．大于
B．等于
C．小于
D．不存在

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．
9．已知向量,，如果与共线，那么实数的值是______．

10题图

10．阅读右面程序框图，如果输入的，那么输出
的的值为______．

11．函数的图象与轴围成图
形的面积为 ．

12．二元一次不等式组所表示的平面区域
的面积为 ， 的最大值为 ．

13．已知函数， 对于数列有（，且），
如果，那么 ， ．

14．给出下列四个命题：
①命题“”的否定是“”；
②在空间中，、是两条不重合的直线，、是两个不重合的平面，如果，，，那么；
③将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象；
④函数的定义域为，且,若方程有两个不同实根，则的取值范围为.
其中正确命题的序号是 ．

三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）当时，求函数的最大值，并写出相应的取值.

16．（本小题满分13分）
已知数列，其前项和为.
（Ⅰ）求数列的通项公式，并证明数列是等差数列；
（Ⅱ）如果数列满足，请证明数列是等比数列，并求其前项和；
（Ⅲ）设，数列的前项和为，求使不等式 对一切都成立的最大正整数的值.

17．（本小题满分14分）
如图，四棱锥的底面为正方形，侧棱底面，且
，分别是线段的中点．
（Ⅰ）求证：//平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求二面角的大小．

18．（本小题满分13分）
某品牌专卖店准备在春节期间举行促销活动，根据市场调查，该店决定从种型号的洗衣机，种型号的电视机和种型号的电脑中，选出种型号的商品进行促销.
（Ⅰ）试求选出的种型号的商品中至少有一种是电脑的概率；
（Ⅱ）该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高元，同时，若顾客购买该商品，则允许有次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得元奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是，设顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额(单位：元)为随机变量，请写出的分布列，并求的数学期望；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，问该店若想采用此促销方案获利，则每次中奖奖金要低于多少元？

19．（本小题满分13分）

横梁断面图
将直径为的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比（强度系数为，）．要将直径为的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽应是多少？

20．（本小题满分14分）
已知函数，.
（Ⅰ）如果函数在上是单调增函数，求的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

石景山区2009—2010学年第一学期期末考试试卷
高三数学（理科）参考答案

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．
题号
9
10
11
12
13
14
答案

，
，（）
③④
注：两空的题第1个空3分，第2个空2分.

三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）
………………………………4分
………………………………6分
所以函数的最小正周期. …………………………8分
（Ⅱ）， ， ………………………………9分
， ………………………………11分
∴当，即时，有最大值. …………………13分

16．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）当时，， ……………………………1分
当时，
． ……………………………2分
又满足， ……………………………3分
． ………………………………4分
∵ ，
∴数列是以5为首项，为公差的等差数列． ………………5分
（Ⅱ）由已知得 ， ………………………………6分
∵ ， ……………………7分
又，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列. ………………8分
∴数列前项和为. ……………9分
（Ⅲ） ……10分
∴
． ……………………11分
∵ ，
∴单调递增．
∴． …………………12分
∴，解得，因为是正整数， ∴． ………………13分

17．（本小题满分14分）
解法一：
（Ⅰ）证明：∵，分别是线段，的中点，
∴//． ………………………2分
又∵平面，平面，
∴//平面． ……………………………4分

（Ⅱ）解：为的中点，且，
，
又底面，底面 ，
．
又四边形为正方形，
．
又 ，
平面． ……………………………………7分
又平面 ，
． ……………………………………8分
又 ，
平面． ……………………………………9分
（Ⅲ）平面，平面，
平面平面，
平面，平面平面，，
平面，
，分别是线段，的中点，
//，
平面．
平面，平面，
，， ……………………10分
就是二面角的平面角． ……………………12分
在中，
，
所以二面角的大小为. 　 ………14分

解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，
,
，，，.
………………2分
（Ⅰ）证明：∵，，
∴,
∵平面，且平面， ……………………4分
∴ //平面. ……………………5分
（Ⅱ）解：，， ， ……………………6分
……………………8分
，
又，
平面. ………………………9分
（Ⅲ）设平面的法向量为,
因为，，
则取 ………………………………12分
又因为平面的法向量为
所以 …………………13分

所以二面角的大小为． …………………14分

18．（本小题满分13分）
解: (Ⅰ) 从种型号的洗衣机，种型号的电视机，种型号的电脑中，选出种型号的商品一共有种选法. ……………………………2分
选出的种型号的商品中没有电脑的选法有种， ………………………4分
所以选出的种型号的商品中至少有一种是电脑的概率为.
………………………5分
（Ⅱ）的所有可能的取值为，，，. ……………………6分
时表示顾客在三次抽奖中都没有中奖,
所以 ……………………7分
同理可得 ……………………8分
…………………9分
…………………10分
所以，顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的分布列为：

0

于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的数学期望是
. ……………………11分
（Ⅲ）要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的数学期望低于商场的提价数额，因此应有，所以. ………………… 12分
故每次中奖奖金要低于元，才能使促销方案对商场有利. …… 13分

19．（本小题满分13分）
解： 设断面高为，则．
横梁的强度函数，
所以 ，． ……………………………5分
当时，令． ……………………………7分
解得（舍负）． ……………………………8分
当时，； ……………………………9分
当时，． ……………………………10分
因此，函数在定义域内只有一个极大值点．
所以在处取最大值，就是横梁强度的最大值． ……………12分
即当断面的宽为时，横梁的强度最大． ……………………13分

20．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）当时，在上是单调增函数，符合题意．………1分
当时，的对称轴方程为，
由于在上是单调增函数，
所以，解得或，
所以． ……………………3分
当时，不符合题意．
综上，的取值范围是． ……………………4分
（Ⅱ）把方程整理为，
即为方程. ……………………5分
设 ，
原方程在区间()内有且只有两个不相等的实数根, 即为函数在区间()内有且只有两个零点. ……………………6分

…………………7分
令，因为，解得或（舍） …………………8分
当时, , 是减函数；
当时, ，是增函数. …………………10分
在()内有且只有两个不相等的零点, 只需
…………………13分
即 ∴
解得, 所以的取值范围是() ． …………………14分

注：若有其它解法，请酌情给分．

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