江苏省苏北四市2010年高三上学期期末调研(数学).doc

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江苏省苏北四市2010届高三上学期期末联考
数 学
必做题部分
编审：王思亮
注意事项:
1．考试时间120分钟，试卷满分160分．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定的地方．
2．答题时，请使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字迹工整，笔迹清楚．
3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．请保持卡面清洁，不折叠，不破损．
一、填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
1．已知集合，，则 ▲ ．
2．复数（为虚数单位）的实部是 ▲ ．
3．运行如图的算法，则输出的结果是 ▲ ．
第4题图

x←0
While x<20
x ← x+1
x ← x2
End  While
Print x
第3题图

4．某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是[96，106]，若样本中净重在的产品个数是24，则样本中净重在的产品个数是 ▲ ．
5．已知函数，若在区间上随机取一点，则使得的概率为 ▲ ．
6．已知，是非零向量，且，的夹角为，若向量，则 ▲ ．
7．已知曲线在点处的切线与直线互相垂直，则实数 ▲ ．
8．由命题“存在，使”是假命题，求得的取值范围是，
则实数的值是 ▲ ．
9．已知函数，若，且在区间内有最大值，无最小值，则 ▲ ．
10．连续两次掷一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），记出现向上的点数分别为，设向量，，则与的夹角为锐角的概率是 ▲ ．
11．在数列中，已知，当时，是的个位数，
则 ▲ ．
12．已知函数的值域为，则的取值范围是 ▲ ．
13．已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点（异于长轴的端点），使得，则该椭圆离心率的取值范围是 ▲ ．
14．已知t为常数，函数在区间上的最大值为2，则实数
▲ ．
二、解答题: 本大题共6小题, 15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分. 请在答题卡指定的区域内作答, 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．设△ABC的三个内角A，B，C对边分别是a，b，c，已知，
（1）求角；
（2）若是△ABC的最大内角，求的取值范围．

16．如图①，，分别是直角三角形边和的中点，，沿将三角形折成如图②所示的锐二面角，若为线段中点．求证：
（1）直线平面；
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｅ
Ｆ
图①
（2）平面平面．

Ｂ
Ｃ
Ｅ
Ｆ
Ｍ

图②

17．已知数列是等比数列，为其前项和．
（1）若，，成等差数列，证明，，也成等差数列；
（2）设，，，若数列是单调递减数列，求实数的取值范围．

18．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？

19．在矩形中，已知，，E、F为的两个三等分点，和交于点，的外接圆为⊙．以所在直线为轴，以中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求以F、E为焦点，和所在直线为准线的椭圆的方程；
（2）求⊙的方程；
（3）设点，过点P作直线与⊙交于M，N两点，若点M恰好是线段PN的中点，求实数的取值范围．

20．已知正方形的中心在原点，四个顶点都在函数图象上．
（1）若正方形的一个顶点为，求，的值，并求出此时函数的单调增区间；
（2）若正方形唯一确定，试求出的值．

数学附加题
（考试时间30分钟，试卷满分40分）
21．【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4－1：几何证明选讲
如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB＝AC，延长BC到点D，使得CD＝AC，连结AD交⊙O于点E，连结BE与AC交于点F，求证BE平分∠ABC．
O
A
E
C
D
B
F
第21（A）题

B．选修4－2：矩阵与变换
已知圆在矩阵A=对应的变换下变为椭圆，求的值．

C．选修4－4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），求直线被圆所截得的弦长．

D．选修4－5：不等式选讲
若正数a，b，c满足，求的最小值．

22．【必做题】如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，．
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）在线段AC上找一点P，使与所成的角为，试确定点P的位置．
B
E
A
F
D
C
第22题图

23．【必做题】已知，，．
（1）当时，试比较与的大小关系；
（2）猜想与的大小关系，并给出证明．

参考答案
一、填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共计70分.
1.；
2.；
3.25；
4.60；
5.；
6.；
7.；
8.1；
9.；
10.；
11. 4；
12.；
13.；
14. 1.
二、解答题: 本大题共6小题, 15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分.
15．（1）在△ABC中，由正弦定理，得 ， ……………2分
又因为，所以， ……………4分
所以, 又因为 , 所以． ……………6分
（2）在△ABC中，，
所以= ， ……… 10分
由题意，得≤＜ , ≤＜，
所以sin()，即 2sin()，
所以的取值范围． ………………14分
Ｂ

Ｃ
Ｅ
Ｆ
Ｍ
Ｎ
∥
＝
∥
＝
∥
＝
16.（1）取中点，连接，
则　, ,所以 ，
所以四边形为平行四边形，所以∥，……4分
又因为，
所以直线平面． ……………………………………………7分
（2）因为，分别和的中点，所以，所以…9分
同理，,
由（1）知，∥，所以
又因为, 所以, ……………………………12分
又因为
所以平面平面． ………………………………………14分
17.（1）设数列的公比为，
因为，，成等差数列，所以，且．
所以，
因为，所以． …………………………………………4分
所以，即．
所以也成等差数列． ………………………………………………6分
（2）因为，，
所以，……………………①
，……………………②
由②①，得，所以，代入①，得．
所以， ………………………………………………………8分
又因为，所以，
由题意可知对任意，数列单调递减，
所以，即，
即对任意恒成立， ………………………………10分
当是奇数时，，当，取得最大值－１，
所以； ………………………………………………………………12分
当是偶数时， ，当，取得最小值，
所以．
综上可知，，即实数的取值范围是．…………14分
18.（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：
…………………………………………………4分
，
当且仅当，即时，
才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为元．…………………8分
（2）设该单位每月获利为,
则…………………………………………………………………10分

因为，所以当时，有最大值．
故该单位不获利，需要国家每月至少补贴元，才能不亏损．…………16分
19．（1）由已知，设椭圆方程为，
由于焦点的坐标为，它对应的准线方程为 ，…………………………2分
所以，，于是 ，，
所以所求的椭圆方程为: ． ……………………………………………4分
(2) 由题意可知，，，．
所以直线和直线的方程分别为:，，
由　解得 所以点的坐标为．………………6分
所以，，
因为，所以，…………………………………………8分
所以⊙的圆心为中点，半径为，
所以⊙方程为 .………………………………………10分
(3) 设点的坐标为，则点的坐标为，
因为点均在⊙上，所以，
由②－①×4，得，
所以点在直线，………………12分
又因为点在⊙上，
所以圆心到直线的距离
，………………………………14分
即，
整理，得，即，
P
H
O
N
M
K
x
y
Q
所以，故的取值范围为．………16分
解法二：过作交于，
设到直线的距离，则
，
，
又因为
所以，，因为，
所以，所以，；
解法三：因为，，所以
所以，所以，．
20. (1)因为一个顶点为，所以必有另三个顶点，，，
将，代入，得，． …………………4分
所以．
因为，令，得或，
所以函数单调增区间为和．……………………6分
（2）设正方形对角线所在的直线方程为，则对角线所在的直线方程为．
由解得，
所以，
同理，，
又因为，所以．……………………………10分
即，即．
令 得
因为正方形唯一确定，则对角线与唯一确定，于是值唯一确定，
所以关于的方程有且只有一个实数根，又．
所以，即．………………………………………14分
因为，，所以；又 ，所以，故．
因此；
反过来时，，，
于是，；或，
于是正方形唯一确定．……………………………………………………16分
数学附加题
参考答案与评分标准
A 因为CD＝AC，所以∠D＝∠CAD．
因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB．
因为∠EBC＝∠CAD，所以∠EBC＝∠D．……………………………………5分
因为∠ABC＝∠ABE＋∠EBC，∠ACB＝∠D＋∠CAD．
所以∠ABE＝∠EBC，即BE平分∠ABC．……………………………………10分
B 设为圆C上的任意一点，在矩阵对应的变换下变为另一个点，
则 ，…………………………………………… 2分
所以 ……………………………………………4分
又因为点在圆C:上，所以 …………6分
所以 ，即 ．
由已知条件可知，椭圆方程为，……………………………8分
所以 ，因为
所以 。 …………………………………………… 10分
C 曲线C的极坐标方程，
化为直角坐标方程为即 ．……………3分
直线为参数）可化为，……………………………6分
圆心到直线的距离，………………………………………8分
弦长．……………………………………………………………10分
D． 因为，a，b，c为正数,由柯西不等式，
所以………6分
所以，……………………………………………………8分
当且仅当，即时“=”成立，
所以当时，原式取最小值1.………………………………………………10分

B
E
A
F
C
D
22．(1) 以为正交基底，建立如图空间直角坐标系，
则，
，
因为，
所以是平面法向量，………2分
又因为，
所以，
故直线与平面所成角正弦值为．…………………5分
（2）设．
因为，所以．
解得，故存在满足条件的点P为AC的中点．……………10分
23.（1） 当时，，，所以；
当时，，，所以；
当时，，，所以．………3分
（2） 由（１），猜想，下面用数学归纳法给出证明：
①当时，不等式显然成立．
②假设当时不等式成立，即，
那么，当时， ，
因为，
所以．
由①、②可知，对一切，都有成立．………………10分