河南省平顶山市届高三上学期期末调研考试数学(理)试题资料.doc

河南省平顶山市2014届高三上学期期末调研考试数学(理)试题

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河南省平顶山市2014届高三上学期期末调研考试数学（理）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
1．若复数3＋（a－1）i＝b－2i（a，b∈R），z＝a＋bi，则复数对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于
A．64 B．92 C．78 D．56

3．右图是计算函数y＝值的程序框图，在①、②、③处应分别填入的是
A．y＝ln（－x），y＝0，y＝ B．y＝ln（－x），y＝，y＝0
C．y＝0，y＝，y＝ln（－x） D．y＝0，y＝ln（－x），y＝
4．若l、m、n是空间中互不相同的直线，α、β是不重合的两平面，则下列命题中为真命题的是
A．若α∥β，lα，nβ，则l∥n B．若α⊥β，lα，则l⊥β
C．若l⊥n，m⊥n，则l∥m D．若l⊥α，l∥β，则α⊥β
5．下列命题错误的是
A．对于命题p：“∈R，使得＋x＋1＜0”，则：“∈R，均有＋x＋1≥0”
B．命题“若－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则－3x＋2≠0”
C．若p∧q是假命题，则p，q均为假命题
D．“x＞2”是“－3x＋2＞0”的充分不必要条件
6．将函数f（x）＝sin（ωx＋）的图象向左平移个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于
A．4 B．6 C．8 D．12
7．已知点P（x，y）满足条件点A（2，1），且｜OP｜·cos∠AOP的最大值为2，则a的值是
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D，＝x ＋y，则
A．0＜x＋y＜1 B．x＋y＞1
C．x＋y＜－1 D．－1＜x＋y＜0
9．对∈R，函数f（x）＝＋bx＋c的值恒非负，若b＞3，则的最小值为
A．3 B．4 C．5 D．7
10．以双曲线的右焦点为圆心与渐近线相切的圆的方程是
A． B．
C． D．
11．对任意实数a，b，函数F（a，b）＝（a＋b－｜a－b｜），如果函数f（x）＝－＋2x＋3，g（x）＝x＋1，那么函数G（x）＝F（f（x），g（x））的最大值等于
A．2 B．3 C．4 D．－1
12．对于数集X＝{－1，x1，x2，…，}，其中0＜x1＜x2＜…＜，n≥2，定义向量的集合Y＝{a｜a＝（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意a1∈Y，存在a2∈Y，使得al·a2＝0，则称X具有性质P．例如{－1，1，2}具有性质P．若X具有性质P，且x1＝1，x2＝
q（q为常数），则有穷数列x1，x2，…，的通项公式为
A．，i＝1，2，…，n． B．，i＝1，2，…，n．
C．，i＝1，2，…，n． D．，i＝1，2，…n
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在等差数列{}中，a1＞0，·＜0，若此数列的前10项和＝36，前18项和 ＝12，则数列{｜｜}的前18项和为_____________．
14．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为____________．
15．设直线y＝ax＋1（a＞0）与曲线恰有2个公共点，则a的取值的集合为____________．
16．已知抛物线C：＝4y与点M（，－1），过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若·＝0，则直线AB与抛物线C围成的面积为______________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）已知a＝（cosx，2cosx），b＝（2cosx，sinx），且f（x）＝a·b．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若（a＋2c）cosB＝－bcosA成
立，求f（A）的取值范围．

18．（本小题满分12分）某电视台举办“青工技能大赛”，比赛共设三关，第一、二关各有两个问题，两个问题全解决方可进入下一关，第三关有三个问题，只要解决其中的两个问题，则闯关成功．每过一关可依次获得100分、300分、500分的积分．小明对三关中每个问题正确解决的概率依次为、、，且每个问题正确解决与否相互独立．
（Ⅰ）求小明通过第一关但未过第二关的概率；
（Ⅱ）用X表示小明的最后积分，求X的分布列和期望．

19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知BC＝1，BB1 ＝2，∠BCC1＝90°，AB⊥侧面BB1C1C．
（Ⅰ）求直线C1B与底面ABC所成角的正弦值；
（Ⅱ）在棱CC1（不包含端点C，C1）上确定一
点E的位置，使得EA⊥EB1（要求说明
理由）；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若AB＝，求二面角A－EB1－A1的大小．

20．（本小题满分12分）已知椭圆E：（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，左焦点为F，动直线x＝m（｜m｜＜a）与E相交于P，Q两点，A1P与A2Q的交点M的轨迹落在双曲线上．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过F点的直线l与E相交A、B两点，与圆相交于C、D两点，求的范围．
21．（本小题满分12分） 设函数f（x）＝－mlnx，h（x）＝－x＋a．
（Ⅰ）当a＝0时，f（x）≥h（x）在（1，＋∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当m＝2时，若函数k（x）＝f（x）－h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）是否存在实数m，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性?若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，已知⊙O和⊙M相交于A，B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为弧BD的中点，连结AG分别交⊙O、BD于点E、F，连结CE．
（Ⅰ）求证：AC为⊙O的直径；（Ⅱ）求证：AG·EF＝CE·GD．

23．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（a＞b＞0，为参
数），已知曲线C上的点M（1，）对应的参数＝．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，若点A（ρ1，θ），B（ρ2，
θ＋）在曲线C上，求＋的值．

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
（Ⅰ）设a，b，c∈（0，＋∞），求证：＋＋≥a＋b＋c；
（Ⅱ）已知a＋b＝1，对，b∈（0，＋∞），＋≥｜2x－1｜－｜x＋1｜恒成立，求x的取值范围．

平顶山市2014届高三上学期期末考试
理科数学答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．C 2．B 3．B 4．D 5．C 6．B 7．B 8．C 9．C 10．D 11．B 12．A ．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．60 14． 15． 16． ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．解：（I）∵，，
∴=
=．
∴函数的最小正周期为． ………………3分
由，得，
∴函数的单调递增区间为． ………………6分
（Ⅱ）由正弦定理得：，
∴， ∴．
又∵B为三角形的内角，∴． ………………9分
∴．
∵，∴，
∴，∴． ………………12分
18．解：（Ⅰ）设事件A=“小明通过第一关但未过第二关”，第一关第i个问题正确解决为事件Ai(i=1，2)，
第二关第i个问题正确解决为事件Bi(i=1，2)，则，．
又∵，
∴．………………5分
（Ⅱ）．
，． ………………7分
，
． ………………9分
∴X的分布列为

X
0
100
400
900
P

． ………………12分
19．（本小题满分1 2分）
解：如图，以B为原点，建立空间直角坐标系，则，，．
（Ⅰ）直三棱柱ABC—A1B1C1中，平面ABC的法向量，，
设BC1与平面ABC所成的角为，
则． ………………4分
（Ⅱ）设，，则，．
∵⊥，∴，
∴，即，即E是CC1的中点． ………………8分
（Ⅲ）∵，则，．
设平面的法向量为，
则
取．
∵，，
∴．
又，∴⊥平面，∴平面的法向量为，
∴，
∴二面角A—EB1—A1的大小为45°． ………………12分
20．（本小题满分1 2分）
解：（Ⅰ）由题意可设，，，则
（1）， （2），
将方程（1）（2）相乘得 ………………3分
∵在椭圆上，∴，代入上式，可得
，即的轨迹方程为．
又∵M的轨迹在双曲线上，
∴所求的椭圆方程为． ………………6分
（Ⅱ）设，，将AB：代入椭圆方程得，
∴．………………8分
而．
∴． ………………9分
令，（AB为x轴时，m不存在，此时t=0），得．
由于函数在上递减(易用导数的方法得之)，
∴t=0，即m不存在时，，t=1，即m=0时，．
∴的取值范围是． ………………12分
21．（本小题满分1 2分）
解：（Ⅰ）当时，由在（1，+）上恒成立，可得．
记，求得． ………………2分
∴当时，，当时，．
∴当时，．
∴m． ………………4分
（Ⅱ）函数在[1，3]上恰有两个不同零点等价于方程在[1，3]上恰有两个不同的实根．令，则．
∴当时，，递减；
当时，，递增． ………………6分
∴，而，，
∴只需，故a的取值范围是
．………………8分
（Ⅲ）存在，使函数和函数在公共定义域上具有相同的单调性．
∵，函数的定义域为．
若，则，函数在上递增，不合题意；
若，由，可解得或（舍去）．
∴函数在上递增，在上递减． ………………10分
而函数在上递减，在上递增，故只需令，得．
∴时，函数和函数在公共定义域上具有相同的单调性．
………………12分

·
·
A
B
C
D
G
E
F
O
M
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
解：(Ⅰ)连结DG，AB，∵AD为⊙M的直径，
∴．
在⊙中，，
∴AC为⊙O的直径． ……………4分
(Ⅱ) ∵ ，∴，
∵点G为弧BD的中点，∴．
在⊙中，，∴∽，
∴AGEF=CEGD． ……………10分
23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程
解：（I）将及对应的参数，代入，可解得，
∴曲线C的参数方程为（为参数）．
∴消去参数得到曲线C的直角坐标方程为． ……………5分
（II）将化成极坐标方程为．
∵点， 在曲线C上，
∴，，
∴． ……………10分
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
解：（Ⅰ）∵，∴，同理，．
相加得，
∴． …………4分
（Ⅱ）∵ a＞0，b＞0 且a+b=1， ∴ +=(a+b)( +)=5++≥9，
∴+的最小值为9． … …………7分
∵对，恒成立，∴．
∴当时，；当时，；
当时，；∴． … …………10分

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