高等代数复习.doc

______________________________________________________________________________________________________________
第一章 基本概念
1.1 集合
Z表示全体整数的集合
Q表示全体有理数的集合
R表示全体实数的集合
C表示全体复数的集合
。德.摩根（De Morgan）律
对于任意集合ABC来说
第一：集合C减去集合A与集合B的交集等于集合C减去集合A与集合C减去集合B的并集 用数学符号表示为C-(A∩B)=(C-A) ∪（C-B）
第二：集合C减去集合A与集合B的并集等于集合C减去集合A与集合C减去集合B的交集 用数学符号表示为C-(A∪B)=（C-A）∩（C-B）
元素属于集合用”∈”\符号，集合属于集合用符号

1.2 映射
映射：设AB是两个非空集合，A到B的一个映射指的是一个对应法则，通过这个法则，对于集合A中每一个元素x，有集合B中唯一确定的元素y与之对应。（映射可以多对一，但是不允许一对多）
满射：设f是A到B的一个映射，如果f(A)=B，那么就称f是A到B的一个满射。
单射：设f：A到B是一个映射，如果对于A中任意两个元素x1,x2只要有x1≠x2，就有f(x1)≠f(x2)，那么就称f是A到B的一个单射。
映射之间是可以合成的，具体不做解释。
双射：如果一个映射既是满射，又是单射，那么我们将这个映射称为双射。
本单元的题型大多为证明双射，所以这里要注意。
证明双射的步骤：
第一步首先证明满射，将x用y来表示，然后将用y表示的x代入原方程中。如果得到的结果等于y，那么即可证明该映射为满射。
第二步证明单射，将x1和x2代入方程中，并将含x1和x2的两个方程联立，如果解得x1等于x2，那么即可证明该映射为单射。
第三步，既是满射又是单射的映射即为双射，命题得证。

1.3 数学归纳法
数学归纳法的原理是最小数原理
最小数原理：正整数集N*的任意一个非空子集S必含有一个最小数，也就是这样一个数a∈S，对于任意c∈S都有a≤c。
需要注意的是最小数原理并不是对于所有集合成立的。例如全体整数集Z就没有最小数。分数组成的集合也没有最小数。
然后就是本节的重点数学归纳法。
数学归纳法：
设有一个与正整数n有关的命题，如果
（1） 当n=1时，命题成立；
（2） 假设n=k时命题成立，则n=k+1时命题也成立；那么这个命题对于一切正整数n都成立。

还有一个所谓的第二数学归纳法原理：
设存在一个与n有关的命题。如果
（1） 当n=1时命题成立；
（2） 假设命题对于一切小于k的正整数来说成立，则命题对于k也成立；那么命题对于一切正整数来说都成立。

1.4 整数的一些整除性质
整除的概念：设ab为两个整数，如果存在一个整数d，使得b=ad，那么就说a整除b，（较小的那个数在前面，比如说3整除6）用数学符号表示为a1b，如果a不整除b，则加一斜杠即可。
整数的基本性质
A整除B,B整除C，那么A整除C。
A整除B，A整除C，那么A整除（B+C）
A整除B，若C∈Z，那么A整除BC
每一个整数都可以被1和-1整除
每一个整数都可以被他自己和他的相反数整除
带余除法：
设a,b是整数且a≠0，那么存在一对整数q和r，使得
b=aq+r，0≤r＜1a1
满足以上条件的整数q和r是唯一确定的。
一个素数如果整除两个整数a与b的乘积，那么它至少整除a与b中的一个。
带余除法的余数一定是正整数

1.5 数环与数域
数环：设S是复数集C上的一个非空子集，如果对于S中任意两个数a,b来说，存在a+b,a-b,ab都在S内，那么我们称S是一个数环。
数域：设S是一个数环，如果
（1） F中有一个不等于零的数；
（2） 如果a,b∈F，且b≠0，则∈F
那么就称F是一个数域（数域是建立在数环的基础上的，所以要先证数环再证数域）
任何数域都包含有理数域Q
这一节比较简单，套概念即可

第二章 多项式
2.1 一元多项式的定义和运算
（1）数环R上一个文字x的多项式或者一元多项式是指：a0+a1x+a2x²+…+anxn
Anxn叫做多项式的最高次项，而n就是该多项式的次数。
（2）多项式的运算规则
加法交换律：
F(x)+G(x)=G(x)+F(x)
加法结合律：
(F(x)+g(x))+h(x)=f(x)+（g(x)+h(x)）

乘法交换律：
F(x)g(x)=g(x)f(x)
乘法结合律：
(F(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x))
乘法对加法的分配律同理也符合
多项式的基本性质
第一点：两不等于零的多项式之和的次数小于等于这两个多项式中次数比较高的那个次数。
第二点：两不等于零的多项式之积的次数等于两多项式的次数之和。

2.2 多项式的整除性
多项式的整除性质：多项式环F(x)上的两个多项式f(x)和g(x)，如果存在F(x)上的多项式z（x），使得g(x)=f(x)z(x)，则称f(x)1g(x)
多项式整除的性质和整数整除性质类似
整除的方法是要重点复习的方法（带余除法）
首先把两个多项式中次数较低的那一个同时乘以相差的那个次数，然后用次数较高的减去次数较低的，得到一个新的多项式。
然后依然是把那个次数最低的多项式乘以与新多项式相差的次数，然后用新多项式减去这个结果。
按照上一步进行循环一直到结果的次数低于一开始那个次数较低的多项式。就可以得到余式。
最后把较高次数的多项式减去余式，然后除以较低次数的多项式即可得到商。

2.3 多项式的最大公因式
f(x)和g(x)是F(x)上的两个多项式。如果存在F(x)上的一个多项式h(x)同时整除f(x)和g(x)，那么h(x)叫做f(x)与g(x)的一个公因式。
若h(x)能被f(x)和g(x)的任何一个公因式整除，那么h(x)是g(x)和g(x)的最大公因式。
最大公因式的性质：
F(x)的任意两个多项式f(x)与g(x)一定有最大公因式，除了一个零因式外，最大公因式是唯一确定的。
(Bezout等式)若h(x)是F(x)上的多项式f(x)和g(x)的 公因式，那么在F(x)中可以求得多项式u(x)和v(x)，使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=h(x)
那么下面具体总结一下求多项式最大公因式的方法。
首先先通过一系列变化将两多项式的首项变成一样的。然后用本来次数较高的那个多项式减去次数较低的。得到一个新多项式。
把这个多项式乘以一个常数，使得这个多项式的首项系数的绝对值与次数较低的那一个多项式的首项系数相同。
两式相减的到第二个新多项式。
然后用这个多项式除原本那个次数较小的多项式。以此类推，直到次数为1或0，检验最后的结果是否能整除第一个新多项式。如果能整除，那这个结果就是两多项式的最大公因式。

2.4 多项式的分解
可约与不可约：f(x)是F(x)上次数大于零的多项式在数域F只有平凡因子，称f(x)在数域F上不可约；若除了平凡因子外还有其他的因子，称f(x)在数域F上可约。

不可约多项式的性质：
(1) 如果多项式p(x)在数域F上不可约，对于任意的c≠0∈F，则cp(x)在数域F上不可约。
(2) 如果p(x)是数域F上不可约多项式，f(x)是任意多项式，则p(x)1f(x)或者（p(x)，f(x)）=1
(3) 如果p(x)是数域F上不可约多项式，p(x)1f(x)g(x)，则p(x)1f(x)或p(x)1g(x)至少有一个成立。
(4) (唯一因式分解定理)F(x)上任意n＞0次多项式都可以分解成F(x)中的不可约因式的乘积，如果不考虑不可约因式的次序则分解是唯一的。

(注意题目要求的数域，一个多项式可能在有理数域无法分解，但是可能在复数域就可以。)

2.5 重因式
多阶导数：实际上就是把一个多项式多次求导，求了几次导我们就将其称为几阶导数。
重因式是什么：用我自己的语言来表达的话，就是说一个多项式可以被另一个多项式整除几次，那么我们就称这个用来除的多项式为另一个多项式的几重因式。例如：(x+1)就是(x+1) 的二重因式。
重因式的性质：
(1) 若p(x)是f(x)的一个k(k≥1)重因式，则p(x)是f’(x)的k-1(k≥1)重因式。
(2) 多项式f(x)没有重因式当且仅当(f(x),f’(x))=1。

证明一个多项式有重因式的方法：辗转相除法
关于辗转相除法前面已经介绍过了，这里通过辗转相除法，一直除到结果中只剩下常数为止，当这个常数为零时，那么这个多项式就有重因式。
具体方法：首先用原多项式除以多项式的一阶导数（导数的首项系数要变得与原多项式相同），再用一阶导数除以这次的结果（首项系数保持相同），得到的结果如果不是常数，那么一直重复这一步骤（用一阶导数除以得到的结果）。直到得到常数为止。

2.6多项式函数与多项式的根
多项式的根：若存在c∈R，当x=c时，f(x)=0，那么我们称c为多项式函数f(x)的根。
多项式函数的性质：
(1) f(x)∈R[x],c∈R，用x-c除f(x)所得到的余式等于当x=c时f(x)的值f(c)。
(2) 数c是f(x)在数环R中的一个根当且仅当(x-c)1f(x)。
(3) 若f(x)是R[x]中的一个n次(n≥0)多项式，那么f(x)在R中至多有n个根。
(4) f(x),g(x)∈R[x]，它们的次数都不大于n，若以R中n+1个或者更多的不同的数来代替x时，每次得到的f(x)，g(x)的值都相等。那么f(x)=g(x)。
(5) R[x]的两个多项式f(x)，g(x)相等当且仅当它们所定义的R上的多项式函数相等。

在这一节中我们将了解到求函数值的一个简单方法：综合除法
下面我们来看看综合除法的具体做法。

上面是我举的一个例子，f(x)=2x-3x-5x+1,如何求f(3)的值。
首先我们画出综合除法的符号，一横一竖。在左边写上x的值，在右边依次写下多项式的系数，如果中间有的项没有就写0。然后从第一项开始，把系数乘以x的值，结果写在下一个系数的正下方。然后把上下相加，结果写在横杠的下方，再用这个结果乘以x，依次类推，最后在常数项下面得到的结果就是f(x)的值。如上图，f(3)的值为109。

2.7 复数和数域上的多项式
复数和实数域上的多项式的性质
(1)(代数基本定理)任何n(n≥0)次多项式在复数域中至少有一个根。
(2)任何n(n≥0)次多项式在复数域中有n个根(重根按重数计算)。
(3)若实数多项式f(x)有一个非实数的的复根，那么这个复根的共轭数也是f(x)的一个根。
(4)每一个次数大于0的实系数多项式都可以分解为实系数的一次和二次不可约多项式的乘积。

2.8 有理数域上的多项式
本原多项式的定义：若一个整系数多项式f(x)的系数互素，那么f(x)叫做本原多项式。
有理数上多项式的性质：
(1) 两个本原多项式的乘积仍然是本原多项式。
(2) 若一个整系数n(n≥0)次多项式f(x)在有理数域上可约，那么f(x)总可以分解成次数都小于n的两个整系数多项式的乘积。
(3) 艾森斯坦判别法(Eisenstein判别法)：对于一个整系数多项式，若存在一个素数p，第一，这个素数p不能整除这个多项式的最高项次数。第二，素数可以整除除了最高次项系数外该多项式的所有系数。第三，p的平方不能整除多项式的常数项。若一个整系数多项式同时满足以上三个条件，那么这个多项式在有理数域不可约。

本节基本靠第三条性质解题。三个步骤套用就可以了。

2.9 多元多项式
多元多项式的性质：
(1) 一元多项式的性质完全满足。
(2) 数环R上两个n元多项式乘积的首项等于其首项的乘积（废话），两个非零多项式的乘积也不为零。
(3) 数环上R上不等于零的n元多项式乘积的次数等于这两个多项式次数的和。

第三章 行列式

3.1 线性方程组和行列式

行列式就是把线性方程组的系数（或者加上结果）写成行列的形式。
行列式的求法：这是本节的重点，比如一个三阶行列式的值可以表示为a11a22a33+a12a23a32+a13a21a32-a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32(总之就是从左上向右下相乘，然后是第二个依次类推，加在一起再减去从右上到左下相乘的和，说不清楚。。。)

3.2 排列
排列的定义
(1) n元排列：n个数字1,2,3…,n组成的一个有序组。
(2) 反序：在一个排列里，如果某较大的数字排在某个较小的数字前面，那么我们称这两个数字构成了一个反序。

排列的性质
(1) 同样n个数字组成的两个排列，那么总可以经过一系列变换使得两排列相同。
(2) 每一次对换都改变了排列的奇偶性。
(3) n≥2时，n个数字的奇排列和偶排列个数相等，各为个。

计算一个排列反序数的方法：按照大小的顺序，从小到大，把排列中每个数字的反序数加在一起就是该排列的反序数。
例如排列523146879,1的反序数为3,2的为1,3的为1,4的为1,5和6都为0,7为1,8和9都为0。故排列523146879的反序数为3+1+1+1+1=7.

3.3 n阶行列式
行列式的性质：
(1) 行列式与他的转置行列式相等。(转置行列式就是把行列式整个向左或者向右转90度)
(2) 交换一个行列式的两行(或者两列)，行列式值的绝对值不变，但是符号改变。
(3) 如果有一个行列式的两行(或者两列)完全相等，那么这个行列式为0.
(4) 把一个行列式的某一行(或者某一列)全部乘以k，那么行列式的值也会乘以k。
(5) 一个行列式某一行(或者某一列)所有元素的公因子可以提到行列式外面。
(6) 如果有一个行列式某一行(或者某一列)全部为0，那么这个行列式的值为0。
(7) 如果一个行列式有两行(或者两列)的元素互成比例，那么这个行列式为0。其实这一条的原理和第6条是一样的，因为，把那个比较的组大出的那个系数提到行列式外，再把两式相减，那么就有一行或者一列全部为0，满足第6条。
(8) 把行列式的一行(或者一列)同时乘以某个数再加到另一行或者一列上，该行列式的值不变。

判断行列式求值公式其中一项正负的方法：
首先按照第一个数字由小到大的顺序排列。第二步把后一个数字写成一个排列。
最后我们计算这个排列的反序数，如果该排列的反序数的值为偶数，那么这个项的符号为正。如果该排列的反序数为奇数，那么这个项的符号为负。

3.4 子式和代数余子式行列式的依行依列展开
如何进行行列式的依行依列展开？以下是我总结的几个步骤：
第一步：首先看题，看题目要求从第几行，或是第几列展开。
第二步：从这一行(或者这一列)的第一个元素开始，把这个元素提到行列式外，并且，把与这个元素同行同列的所有元素删除，组成一个新的行列式。
第三步：用这个元素乘以负一的这个元素的行数与列数之和次方，再乘以新的行列式，这一行或这一列的每个元素都这么做后加在一起就是依行依列展开的计算结果。

3.5 克拉默规则
线性方程组的系数可以写成一个行列式。
下面复习一下解线性方程组的方法，克拉默规则。
第一点：克拉默规则首先要求由线性方程组写成的行列式不能为0。
第二步：求出该线性方程组的值D。
第三步：将该线性方程组的解作为一列进行代换，代换第一列后计算新的行列式的值，称为D1，依次类推，求出D2，D3…Dn。
第四步：用D1，D2，D3…Dn分别除以D得到x1,x2,x3…xn。为得到该线性方程组的解。

第四章 线性方程组

4.1 消元法
线性方程组的三种初等变换：
第一种：交换任意两个方程的位置。
第二种：用一个不等于零的数乘以某个方程。
第三种：用一个数乘以某个方程后加到另一个方程。

矩阵的初等变换同样也是三种，和线性方程组实际上是一样的
第一种：用一个不等于零的数乘以矩阵的某一行或者某一列的所有元素。
第二种：交换矩阵的两行或两列。
第三种：有某个不等于零的数乘以矩阵的某一行或者某一列然后加到另一行或者另一列上。

解线性方程组的方法：Gauss消元法
第一步：将线性方程组写成一个增广矩阵。
第二步：通过初等变换和消元将矩阵内部变成梯形(从左上第一个元素开始向右下画一条斜线，斜线下方都变为零，上方尽量简化)。
第三步：将梯形矩阵重新写成方程组，解出答案即可。

4.2 矩阵的秩 线性方程组可解得判别法
首先复习一下什么是矩阵的秩
矩阵的秩概念：在线性代数中，一个矩阵的秩是A的线性无关的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。
矩阵的秩求法：
一般来说，矩阵的秩都可以这么求，通过初等变化和消元，把矩阵变成行阶梯型矩阵。该矩阵非零行的行数即为矩阵的秩。

如何判定一个线性方程组是否有解？
一个线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵和增广矩阵两个秩的值相等。
所以判定一个线性方程组是否有解的方法就是计算它的系数矩阵和增广矩阵秩是否相等。

4.3 线性方程组的公式解
就是用初等变换和消元法变成梯形行列式后再用克拉默法则解就可以了。

4.4 结式和判别式
首先复习一下结式的写法
两个方程f(x)和g(x)，把f(x)的系数从高到低写成行列式，没有就写零，g(x)的最高次数是几就写几行，相反的，g(x)的系数就是f(x)的最高次数是几就写几行。

第五章 矩阵
5.1 矩阵的运算
矩阵相等：F上的两个矩阵A和B，只有它们有相同的行数和列数，并且对应位置上的数相等。
矩阵的线性运算——数与矩阵的乘法还有矩阵的加法
一个数乘以一个矩阵，只能和矩阵内的某一行或一列的所有元素相乘。
矩阵之间的加减：需要注意的地方，只有同型矩阵方可进行加减，如果阶数不同，两矩阵之间是不可以进行加减运算的。矩阵的加减很简单，就是把对应位置的所有元素相加减就可以了。
零矩阵：所有元素皆为零的矩阵叫做零矩阵。
负矩阵：负矩阵是相对来说的一个概念，首先我们要有一个矩阵，然后把它的所有元素加上负号就称其为原矩阵的负矩阵。
矩阵的乘法：矩阵的乘法并不要求矩阵阶数相同，任何矩阵之间皆可相乘。实际操作就是把前一个矩阵左上第一个元素开始乘以下一个矩阵左上第一个元素然后用同一行的下一个元素乘以下一个矩阵同一列的下一个元素，依次类推，最后加在一起就是结果得到的矩阵第一行的第一个元素，依次类推即可求得结果。下面举一个例子。

也就是像这样3x1+(-1x0)+0x3+2x2=7 3x3+(-1x1)+0x0+(-1x2)=6 依次类推就行了

5.2可逆矩阵 矩阵乘积的行列式

可逆矩阵的定义：令A是数域F上一个n阶矩阵。若是存在F上n节矩阵B，使得AB=BA=I，那么A叫做一个可逆矩阵(I是单位矩阵)，而B叫做A的逆矩阵。
I(单位矩阵)就是一个从左上到右下一条线上的元素全部为1，其他所有元素全部为0，这样的矩阵叫做单位矩阵，单位矩阵的行数和列数必须相同。
如何求矩阵的逆矩阵？这是本节最大的重点，也同时是这本书最难的一个计算问题。
下面来复习一下求矩阵逆的方法。
其实说起来也很简单，我们在求矩阵逆的时候，就是把这个矩阵和一个与它阶数相同的单位矩阵并排放在一起，然后对这个矩阵进行一系列初等变换，最后将这个矩阵变为一个单位矩阵，同时把相同的变法用在旁边的单位矩阵上，最后得到的就是对应的逆矩阵。

5.3 矩阵的分块
矩阵的分块：在它的行或列之间加上一些线，把这个矩阵分成若干块，用这种方法被分成若干块的矩阵叫做一个分块矩阵。

Welcome To
Download !!!

欢迎您的下载，资料仅供参考！

精品资料