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递推数列题型分类归纳解析
各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。
类型1
解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。
例:已知数列满足，，求。
类型2
解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例:已知数列满足，，求。
变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，则{an}的通项
类型3 （其中p，q均为常数，）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。
例:已知数列中，，，求.
变式:递推式：。解法：只需构造数列，消去带来的差异．
类型4 （其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数） 。
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。
例:已知数列中，,，求。
变式:（2006，全国I,理22,本小题满分12分）
设数列的前项的和，
（Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明：
类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。
先把原递推公式转化为其中s，t满足
（待定系数——迭加法）:
数列：， ，求数列的通项公式。
例:已知数列中，,,，求。
变式:（2006，福建,文,22,本小题满分14分）
已知数列满足
（I）证明：数列是等比数列；
（II）求数列的通项公式；
（III）若数列满足证明是等差数列
类型6 递推公式为与的关系式。(或)
解法：这种类型一般利用与消去 或与消去进行求解。
例：已知数列前n项和.
（1）求与的关系；（2）求通项公式.
类型7
解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。
例:设数列：，求.

类型8
解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。
例：已知数列｛｝中，，求数列
变式:（2006,山东,理,22,本小题满分14分）
已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…
（1） 证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；
（2） 设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；
记bn=，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1

类型9
解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。
例：已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。
变式:（2006，江西,理,22,本大题满分14分）
已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝
求数列｛an｝的通项公式；
类型10
解法：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。
例：已知数列满足性质：对于且求的通项公式.
变式:（2005，重庆,文,22,本小题满分12分）
数列记
（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；
（Ⅱ）求数列的通项公式及数列的前n项和
类型11 或
解法：这种类型一般可转化为与是等差或等比数列求解。
例：（I）在数列中，，求
（II）在数列中，，求
类型13双数列型
解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。
例：已知数列中，；数列中，。当时，,，求,.
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