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8.7 圆锥曲线的综合问题

●知识梳理
解析几何是联系初等数学与高等数学的纽带，它本身侧重于形象思维、推理运算和数形结合，综合了代数、三角、几何、向量等知识.反映在解题上，就是根据曲线的几何特征准确地转换为代数形式，根据方程画出图形，研究几何性质.学习时应熟练掌握函数与方程的思想、数形结合的思想、参数的思想、分类与转化的思想等，以达到优化解题的目的.
具体来说，有以下三方面：
（1）确定曲线方程，实质是求某几何量的值；含参数系数的曲线方程或变化运动中的圆锥曲线的主要问题是定值、最值、最值范围问题，这些问题的求解都离不开函数、方程、不等式的解题思想方法.有时题设设计的非常隐蔽，这就要求认真审题，挖掘题目的隐含条件作为解题突破口.
（2）解析几何也可以与数学其他知识相联系，这种综合一般比较直观，在解题时保持思维的灵活性和多面性，能够顺利进行转化，即从一知识转化为另一知识.
（3）解析几何与其他学科或实际问题的综合，主要体现在用解析几何知识去解有关知识，具体地说就是通过建立坐标系，建立所研究曲线的方程，并通过方程求解来回答实际问题.在这一类问题中“实际量”与“数学量”的转化是易出错的地方，这是因为在坐标系中的量是“数量”，不仅有大小还有符号.
●点击双基
1.（2005年春季北京，5）设abc≠0，“ac>0”是“曲线ax2+by2=c为椭圆”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
解析：ac>0曲线ax2+by2=c为椭圆.反之成立.
答案：B
2.到两定点A（0，0），B（3，4）距离之和为5的点的轨迹是
A.椭圆 B.AB所在直线
C.线段AB D.无轨迹
解析：数形结合易知动点的轨迹是线段AB：y=x，其中0≤x≤3.
答案：C
3.若点（x，y）在椭圆4x2+y2=4上，则的最小值为
A.1 B.－1
C.－ D.以上都不对
解析：的几何意义是椭圆上的点与定点（2，0）连线的斜率.显然直线与椭圆相切时取得最值，设直线y=k（x－2）代入椭圆方程（4+k2）x2－4k2x+4k2－4=0.
令Δ=0，k=±.∴kmin=－.
答案：C
4.（2005年春季上海，7）双曲线9x2－16y2=1的焦距是____________.
解析：将双曲线方程化为标准方程得－=1.∴a2=，b2=，
c2=a2+b2=+=.∴c=，2c=.
答案：
5.（2004年春季北京）若直线mx+ny－3=0与圆x2+y2=3没有公共点，则m、n满足的关系式为____________；以（m，n）为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆+=1的公共点有____________个.
解析：将直线mx+ny－3=0变形代入圆方程x2+y2=3，消去x，得
（m2+n2）y2－6ny+9－3m2=0.
令Δ<0得m2+n2<3.
又m、n不同时为零，∴0<m2+n2<3.
由0<m2+n2<3，可知|n|<，|m|<，
再由椭圆方程a=，b=可知公共点有2个.
答案：0<m2+n2<3 2
●典例剖析
【例1】 （2005年春季北京，18）如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b（a>0，b≠0），且交抛物线y2=2px（p>0）于M（x1，y1），N（x2，y2）两点.

（1）写出直线l的截距式方程；
（2）证明：+=；
（3）当a=2p时，求∠MON的大小.
剖析：易知直线l的方程为+=1，欲证+=，即求的值，为此只需求直线l与抛物线y2=2px交点的纵坐标.由根与系数的关系易得y1+y2、y1y2的值，进而证得+=.由·=0易得∠MON=90°.亦可由kOM·kON=－1求得∠MON=90°.
（1）解：直线l的截距式方程为+=1. ①
（2）证明：由①及y2=2px消去x可得by2+2pay－2pab=0. ②
点M、N的纵坐标y1、y2为②的两个根，故y1+y2=，y1y2=－2pa.
所以+===.
（3）解：设直线OM、ON的斜率分别为k1、k2，则k1=，k2=.
当a=2p时，由（2）知，y1y2=－2pa=－4p2，
由y12=2px1，y22=2px2，相乘得（y1y2）2=4p2x1x2，x1x2===4p2，
因此k1k2===－1.
所以OM⊥ON，即∠MON=90°.
评述：本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.
【例2】 （2005年黄冈高三调研考题）已知椭圆C的方程为+=1（a>b>0），双曲线－=1的两条渐近线为l1、l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B.（如下图）

（1）当l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；
（2）当=λ时，求λ的最大值.
剖析：（1）求椭圆方程即求a、b的值，由l1与l2的夹角为60°易得=，由双曲线的距离为4易得a2+b2=4，进而可求得a、b.
（2）由=λ，欲求λ的最大值，需求A、P的坐标，而P是l与l1的交点，故需求l的方程.将l与l2的方程联立可求得P的坐标，进而可求得点A的坐标.将A的坐标代入椭圆方程可求得λ的最大值.
解：（1）∵双曲线的渐近线为y=±x，两渐近线夹角为60°，又<1，
∴∠POx=30°，即=tan30°=.
∴a=b.
又a2+b2=4，∴a2=3，b2=1.
故椭圆C的方程为+y2=1.
（2）由已知l：y=（x－c），与y=x解得P（，），
由=λ得A（，）.
将A点坐标代入椭圆方程得（c2+λa2）2+λ2a4=（1+λ）2a2c2.
∴（e2+λ）2+λ2=e2（1+λ）2.
∴λ2==－［（2－e2）+］+3≤3－2.
∴λ的最大值为－1.
评述：本题考查了椭圆、双曲线的基础知识，及向量、定比分点公式、重要不等式的应用.解决本题的难点是通过恒等变形，利用重要不等式解决问题的思想.本题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题.
【例3】 设椭圆中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P（0，）到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.
剖析：设椭圆方程为+=1，由e=知椭圆方程可化为x2+4y2=4b2，然后将距离转化为y的二次函数，二次函数中含有一个参数b，在判定距离有最大值的过程中，要讨论y=－是否在y的取值范围内，最后求出椭圆方程和P点坐标.
解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是+=1，其中a＞b＞0待定.
由e2===1－（）2可知===，即a=2b.
设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为d，则d2=x2+（y－）2=a2（1－）+y2－3y+= 4b2－3y2－3y+=－3（y+）2+4b2+3，其中－b≤y≤b.
如果b＜，则当y=－b时d2（从而d）有最大值，由题设得（）2=（b+）2，由此得b=－＞，与b＜矛盾.
因此必有b≥成立，于是当y=－时d2（从而d）有最大值，由题设得（）2=4b2+3，由此可得b=1，a=2.
故所求椭圆的直角坐标方程是+y2=1.
由y=－及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点（－，－），点（，－）到点P的距离都是.
解法二：根据题设条件，设椭圆的参数方程是
其中a＞b＞0待定，0≤θ＜2π，
x=acosθ，
y=bsinθ，

∵e=，∴a=2b.
设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为d，则
d2=x2+（y－）2=a2cos2θ+（bsinθ－）2=－3b2·（sinθ+）2+4b2+3.
如果＞1，即b＜，则当sinθ=－1时，d2（从而d）有最大值，由题设得（）2=（b+） 2，由此得b=－＞，与b＜矛盾.
因此必有≤1成立，于是当sinθ=－时，d2（从而d）有最大值，由题设得（）2=4b2+3.
由此得b=1，a=2.所以椭圆参数方程为
x=2cosθ，
y=sinθ.
消去参数得+y2=1，由sinθ=，cosθ=±知椭圆上的点（－，－），（，－）到P点的距离都是.
评述：本题体现了解析几何与函数、三角知识的横向联系，解答中要注意讨论.
深化拓展
根据图形的几何性质，以P为圆心，以为半径作圆，圆与椭圆相切时，切点与P的距离为，此时的椭圆和切点即为所求.读者不妨一试.
提示：由
x2+（y－）2=7，
x2+4y2=4b2，
得3y2+3y－=4b2－7，由Δ=0得b2=1，
即椭圆方程为x2+4y2=4.
所求点为（－，－）、（，－）.
●闯关训练
夯实基础
1.（2005年北京东城区目标检测）以正方形ABCD的相对顶点A、C为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为
A. B.
C. D.
解析：建立坐标系，设出椭圆方程，由条件求出椭圆方程，可得e=.
答案：D
2.已知F1（－3，0）、F2（3，0）是椭圆+＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，当∠F1PF2＝时，△F1PF2的面积最大，则有
A.m=12，n=3 B.m=24，n=6
C.m=6，n= D.m=12，n=6
解析：由条件求出椭圆方程即得m=12，n=3.
答案：A
3.（2005年启东市第二次调研）设P1（，）、P2（－，－），M是双曲线y=上位于第一象限的点，对于命题①|MP2|－|MP1|=2；②以线段MP1为直径的圆与圆x2+y2=2相切；③存在常数b，使得M到直线y=－x+b的距离等于|MP1|.其中所有正确命题的序号是____________.
解析：由双曲线定义可知①正确，②画图由题意可知正确，③由距离公式及|MP1|可知正确.
答案：①②③
4.（2004年全国Ⅱ，15）设中心在原点的椭圆与双曲线2x2－2y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是_________________.
解析：双曲线中，a==b，∴F（±1，0），e==.∴椭圆的焦点为（±1，0），离心率为.∴长半轴长为，短半轴长为1.∴方程为+y2=1.
答案：+y2=1
5.（1）试讨论方程（1－k）x2+（3－k2）y2=4（k∈R）所表示的曲线；
（2）试给出方程+=1表示双曲线的充要条件.
解：（1）3－k2>1－k>0k∈（－1，1），方程所表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆； 1－k>3－k2>0k∈（－，－1），方程所表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆；1－k=3－k2>0k=－1，表示的是一个圆；（1－k）（3－k2）<0k∈（－∞，－）∪（1，），表示的是双曲线；k=1，k=－，表示的是两条平行直线；k=，表示的图形不存在.
（2）由（k2+k－6）（6k2－k－1）<0（k+3）（k－2）（3k+1）（2k－1）<0k∈（－3，－）∪（，2）.
6.（2003年湖北八市模拟题）已知抛物线y2=2px上有一内接正△AOB，O为坐标原点.

（1）求证：点A、B关于x轴对称；
（2）求△AOB外接圆的方程.
（1）证明：设A（x1，y1）、B（x2，y2），
∵|OA|=|OB|，∴x12+y12=x22+y22.
又∵y12=2px1，y22=2px2，∴x22－x12+2p（x2－x1）=0，即（x2－x1）（x1+x2+2p）=0.
又∵x1、x2与p同号，∴x1+x2+2p≠0.∴x2－x1=0，即x1=x2.
由抛物线对称性，知点A、B关于x轴对称.
（2）解：由（1）知∠AOx=30°，则
∴
y2=2px， x=6p，
y=x y=2p.
∴A（6p，2p）.
方法一：待定系数法，△AOB外接圆过原点O，且圆心在x轴上，可设其方程为x2+y2+dx=0.
将点A（6p，2p）代入，得d=－8p.
故△AOB外接圆方程为x2+y2－8px=0.
方法二：直接求圆心、半径，设半径为r，则圆心（r，0）.
培养能力
7.（理）（2004年北京，17）如下图，过抛物线y2=2px（p＞0）上一定点P（x0，y0） （y0＞0），作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）.
（1）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离；

（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数.
解：（1）当y=时，x=.又抛物线y2=2px的准线方程为x=－，
由抛物线定义得所求距离为－（－）=.
（2）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.
由y12=2px1，y02=2px0，相减得（y1－y0）（y1+y0）=2p（x1－x0），
故kPA==（x1≠x0）.
同理可得kPB=（x2≠x0）.
由PA、PB倾斜角互补知kPA=－kPB，即=－，所以y1+y2=－2y0，
故=－2.
设直线AB的斜率为kAB.
由y22=2px2，y12=2px1，相减得（y2－y1）（y2+y1）=2p（x2－x1），
所以kAB==（x1≠x2）.
将y1+y2=－2y0（y0＞0）代入得kAB==－，所以kAB是非零常数.
（文）如下图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2）、A（x1，y1）、B（x2，y2）均在抛物线上.

（1）写出该抛物线的方程及其准线方程；
（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率.
解：（1）由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px.∵点P（1，2）在抛物线上，
∴22=2p·1，得p=2.
故所求抛物线的方程是y2=4x，准线方程是x=－1.
（2）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.
则kPA=（x1≠1），kPB=（x2≠1）.
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴kPA=－kPB.
由A（x1，y1）、B（x2，y2）在抛物线上，得
y12=4x1， ①
y22=4x2， ②
∴=－.
∴y1+2=－（y2+2）.∴y1+y2=－4.
由①－②得直线AB的斜率
kAB===－=－1（x1≠x2）.
8.（2003年北京东城区模拟题）从椭圆+=1（a＞b＞0）上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且它的长轴右端点A与短轴上端点B的连线AB∥OM.
（1）求椭圆的离心率；
（2）若Q是椭圆上任意一点，F2是右焦点，求∠F1QF2的取值范围；
（3）过F1作AB的平行线交椭圆于C、D两点，若|CD|=3，求椭圆的方程.
解：（1）由已知可设M（－c，y），则有+=1.
∵M在第二象限，∴M（－c，）.
又由AB∥OM，可知kAB=kOM.
∴－=－.∴b=c.∴a=b.∴e==.
（2）设|F1Q|=m，|F2Q|=n，
则m+n=2a，mn＞0.|F1F2|=2c，a2=2c2，
∴cos∠F1QF2=
==－1
=－1≥－1=－1=0.当且仅当m=n=a时，等号成立.
故∠F1QF2∈［0，］.
（3）∵CD∥AB，kCD=－=－.
设直线CD的方程为y=－（x+c），即y=－（x+b）.
消去y，整理得
则
+=1，
y=－（x+b）.
（a2+2b2）x2+2a2bx－a2b2=0.
设C（x1，y1）、D（x2，y2），∵a2=2b2，
∴x1+x2=－=－=－b，
x1·x2=－=－=－.
∴|CD|=|x1－x2|=·
=·==3.
∴b2=2，则a2=4.
∴椭圆的方程为+=1.
探究创新
9.（2005年春季上海，22）（1）求右焦点坐标是（2，0），且经过点（－2，－）的椭圆的标准方程.
（2）已知椭圆C的方程是+=1（a>b>0）.设斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点，AB的中点为M.证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上.
（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.

（1）解：设椭圆的标准方程为+=1，a>b>0，
∴a2=b2+4，即椭圆的方程为+=1.
∵点（－2，－）在椭圆上，
∴+=1.
解得b2=4或b2=－2（舍）.
由此得a2=8，即椭圆的标准方程为+=1.
（2）证明：设直线l的方程为y=kx+m，
与椭圆C的交点A（x1，y1）、B（x2，y2），
y=kx+m，
则有
+=1.
解得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2－a2b2=0.
∵Δ>0，∴m2<b2+a2k2，即－<m<.
则x1+x2=－，y1+y2=kx1+m+kx2+m=，
∴AB中点M的坐标为（－，）.
∴线段AB的中点M在过原点的直线b2x+a2ky=0上.
（3）解：如下图，作两条平行直线分别交椭圆于A、B和C、D，并分别取AB、CD的中点M、N，连结直线MN；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于A1、B1和C1、D1，并分别取A1B1、C1D1的中点M1、N1，连结直线M1N1，那么直线MN和M1N1的交点O即为椭圆中心.

●思悟小结
在知识的交汇点处命题，是高考命题的趋势，而解析几何与函数、三角、数列、向量等知识的密切联系，正是高考命题的热点，为此在学习时应抓住以下几点：
1.客观题求解时应注意画图，抓住涉及到的一些元素的几何意义，用数形结合法去分析解决.
2.四点重视：①重视定义在解题中的作用；②重视平面几何知识在解题中的简化功能；③重视根与系数关系在解题中的作用；④重视曲线的几何特征与方程的代数特征的统一.
3.注意用好以下数学思想、方法：
①方程思想；②函数思想；③对称思想；④参数思想；⑤转化思想；⑥分类思想.
除上述几种常用数学思想外，整体思想、数形结合思想、主元分析思想、正难则反思想、构造思想等也是解析几何解题中不可缺少的思想方法.在复习中必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算能力.
●教师下载中心
教学点睛
本节是圆锥曲线的综合应用，主要是曲线方程的运用、变量范围的计算、最值的确定等，解决这类问题的关键是依据解析几何本身的特点，寻找一个突破口，那么如何找到解决问题的突破口呢？
（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系.（2）建立目标函数，转化为求函数的最值问题.（3）利用代数基本不等式.代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思.（4）结合参数方程，利用三角函数的有界性.直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式.因此，它们的应用价值在于：①通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题. （5）构造一个二次方程，利用判别式Δ≥0.
拓展题例
【例1】 （2005年启东市第二次调研题）抛物线y2=4px（p>0）的准线与x轴交于M点，过点M作直线l交抛物线于A、B两点.
（1）若线段AB的垂直平分线交x轴于N（x0，0），求证：x0>3p；
（2）若直线l的斜率依次为p，p2，p3，…，线段AB的垂直平分线与x轴的交点依次为N1，N2，N3，…，当0<p<1时，求++…+的值.
（1）证明：设直线l方程为y=k（x+p），代入y2=4px.
得k2x2+（2k2p－4p）x+k2p2=0.
Δ=4（k2p－2p）2－4k2·k2p2>0，得0<k2<1.
令A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2=－，y1+y2=k（x1+x2+2p）=，
AB中点坐标为（，）.
AB垂直平分线为y－=－（x－）.
令y=0，得x0==p+.
由上可知0<k2<1，∴x0>p+2p=3p.∴x0>3p.
（2）解：∵l的斜率依次为p，p2，p3，…时，AB中垂线与x轴交点依次为N1，N2，N3，…（0<p<1）.
∴点Nn的坐标为（p+，0）.
|NnNn+1|=|（p+）－（p+）|=，
=，
所求的值为［p3+p4+…+p21］=.
【例2】 （2003年南京市模拟题）已知双曲线C：－=1（a＞0，b＞0），B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正半轴上，且满足||、||、||成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P.

（1）求证：·=·；
（2）若l与双曲线C的左、右两支分别相交于点D、E，求双曲线C的离心率e的取值范围.
（1）证法一：

l：y=－（x－c）.
y=－（x－c），
y=x.
解得P（，）.∵||、||、||成等比数列，∴A（，0）.
∴=（0，－），=（，），=（－，）.
∴·=－，·=－.
∴·=·.
证法二：同上得P（，）.
∴PA⊥x轴，·－·=·=0.
∴·=·.
（2）解：
y=－（x－c），
b2x2－a2y2=a2b2.
∴b2x2－（x－c）2=a2b2，即（b2－）x2+2cx－（+a2b2）=0.
∵x1·x2=＜0，
∴b4＞a4，即b2＞a2，c2－a2＞a2.
∴e2＞2，即e＞.