高考第一轮复习数学：8.7圆锥曲线的综合问题.doc

8.7 圆锥曲线的综合问题知识梳理解析几何是联系初等数学与高等数学的纽带，它本身侧重于形象思维、推理运算和数形结合，综合了代数、三角、几何、向量等知识.反映在解题上，就是根据曲线的几何特征准确地转换为代数形式，根据方程画出图形，研究几何性质.学习时应熟练掌握函数与方程的思想、数形结合的思想、参数的思想、分类与转化的思想等，以达到优化解题的目的.具体来说，有以下三方面：（1）确定曲线方程，实质是求某几何量的值；含参数系数的曲线方程或变化运动中的圆锥曲线的主要问题是定值、最值、最值范围问题，这些问题的求解都离不开函数、方程、不等式的解题思想方法.有时题设设计的非常隐蔽，这就要求认真审题，挖掘题目的隐含条件作为解题突破口.（2）解析几何也可以与数学其他知识相联系，这种综合一般比较直观，在解题时保持思维的灵活性和多面性，能够顺利进行转化，即从一知识转化为另一知识.（3）解析几何与其他学科或实际问题的综合，主要体现在用解析几何知识去解有关知识，具体地说就是通过建立坐标系，建立所研究曲线的方程，并通过方程求解来回答实际问题.在这一类问题中“实际量”与“数学量”的转化是易出错的地方，这是因为在坐标系中的量是“数量”，不仅有大小还有符号.点击双基1.（2005年春季北京，5）设abc0，“ac0”是“曲线ax2+by2=c为椭圆”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件解析：ac0曲线ax2+by2=c为椭圆.反之成立.答案：B2.到两定点A（0，0），B（3，4）距离之和为5的点的轨迹是A.椭圆 B.AB所在直线C.线段AB D.无轨迹解析：数形结合易知动点的轨迹是线段AB：y=x，其中0x3.答案：C3.若点（x，y）在椭圆4x2+y2=4上，则的最小值为A.1 B.1C. D.以上都不对解析：的几何意义是椭圆上的点与定点（2，0）连线的斜率.显然直线与椭圆相切时取得最值，设直线y=k（x2）代入椭圆方程（4+k2）x24k2x+4k24=0.令=0，k=.kmin=.答案：C4.（2005年春季上海，7）双曲线9x216y2=1的焦距是_.解析：将双曲线方程化为标准方程得=1.a2=，b2=，c2=a2+b2=+=.c=，2c=.答案：5.（2004年春季北京）若直线mx+ny3=0与圆x2+y2=3没有公共点，则m、n满足的关系式为_；以（m，n）为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆+=1的公共点有_个.解析：将直线mx+ny3=0变形代入圆方程x2+y2=3，消去x，得（m2+n2）y26ny+93m2=0.令0得m2+n23.又m、n不同时为零，0m2+n23.由0m2+n23，可知|n|，|m|，再由椭圆方程a=，b=可知公共点有2个.答案：0m2+n20，b0），且交抛物线y2=2px（p0）于M（x1，y1），N（x2，y2）两点.（1）写出直线l的截距式方程；（2）证明：+=；（3）当a=2p时，求MON的大小.剖析：易知直线l的方程为+=1，欲证+=，即求的值，为此只需求直线l与抛物线y2=2px交点的纵坐标.由根与系数的关系易得y1+y2、y1y2的值，进而证得+=.由=0易得MON=90.亦可由kOMkON=1求得MON=90.（1）解：直线l的截距式方程为+=1. （2）证明：由及y2=2px消去x可得by2+2pay2pab=0. 点M、N的纵坐标y1、y2为的两个根，故y1+y2=，y1y2=2pa.所以+=.（3）解：设直线OM、ON的斜率分别为k1、k2，则k1=，k2=.当a=2p时，由（2）知，y1y2=2pa=4p2，由y12=2px1，y22=2px2，相乘得（y1y2）2=4p2x1x2，x1x2=4p2，因此k1k2=1.所以OMON，即MON=90.评述：本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.【例2】 （2005年黄冈高三调研考题）已知椭圆C的方程为+=1（ab0），双曲线=1的两条渐近线为l1、l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使ll1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B.（如下图）（1）当l1与l2夹角为60，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；（2）当=时，求的最大值.剖析：（1）求椭圆方程即求a、b的值，由l1与l2的夹角为60易得=，由双曲线的距离为4易得a2+b2=4，进而可求得a、b.（2）由=，欲求的最大值，需求A、P的坐标，而P是l与l1的交点，故需求l的方程.将l与l2的方程联立可求得P的坐标，进而可求得点A的坐标.将A的坐标代入椭圆方程可求得的最大值.解：（1）双曲线的渐近线为y=x，两渐近线夹角为60，又1k0k（1，1），方程所表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆； 1k3k20k（，1），方程所表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆；1k=3k20k=1，表示的是一个圆；（1k）（3k2）0k（，）（1，），表示的是双曲线；k=1，k=，表示的是两条平行直线；k=，表示的图形不存在.（2）由（k2+k6）（6k2k1）0（k+3）（k2）（3k+1）（2k1）b0）.设斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点，AB的中点为M.证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上.（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.（1）解：设椭圆的标准方程为+=1，ab0，a2=b2+4，即椭圆的方程为+=1.点（2，）在椭圆上，+=1.解得b2=4或b2=2（舍）.由此得a2=8，即椭圆的标准方程为+=1.（2）证明：设直线l的方程为y=kx+m，与椭圆C的交点A（x1，y1）、B（x2，y2）， y=kx+m，则有+=1. 解得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2a2b2=0.0，m2b2+a2k2，即m0）的准线与x轴交于M点，过点M作直线l交抛物线于A、B两点.（1）若线段AB的垂直平分线交x轴于N（x0，0），求证：x03p；（2）若直线l的斜率依次为p，p2，p3，线段AB的垂直平分线与x轴的交点依次为N1，N2，N3，当0p0，得0k21.令A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2+2p）=，AB中点坐标为（，）.AB垂直平分线为y=（x）.令y=0，得x0=p+.由上可知0k2p+2p=3p.x03p.（2）解：l的斜率依次为p，p2，p3，时，AB中垂线与x轴交点依次为N1，N2，N3，（0p1）.点Nn的坐标为（p+，0）.|NnNn+1|=|（p+）（p+）|=，=，所求的值为p3+p4+p21=.【例2】 （2003年南京市模拟题）已知双曲线C：=1（a0，b0），B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正半轴上，且满足|、|、|成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P.（1）求证：=；（2）若l与双曲线C的左、右两支分别相交于点D、E，求双曲线C的离心率e的取值范围.（1）证法一：l：y=（xc）.y=（xc），y=x. 解得P（，）.|、|、|成等比数列，A（，0）.=（0，），=（，），=（，）.=，=.=.证法二：同上得P（，）.PAx轴，=0.=.（2）解： y=（xc），b2x2a2y2=a2b2.b2x2（xc）2=a2b2，即（b2）x2+2cx（+a2b2）=0.x1x2=0，b4a4，即b2a2，c2a2a2.e22，即e.