九年级数学上册 第23章 一元二次方程 §23.2 一元二次方程的解法名师教案1 华东师大版.doc

一元二次方程的解法（1）
教学目标
知识技能目标
1.认识形如x2＝a(a≥0)类型的方程，并会用直接开平方法或因式分解法求解；
2.培养学生准确而简洁的计算能力及抽象概括能力；
过程性目标
1.使学生体会运用直接开平方法和因式分解法解某些特殊的一元二次方程；
2.在学生自主实践中感悟一元二次方程解法的多样性，从而初步认识一些特殊一元二次方程的求解思路．
情感态度目标
通过两边同时开平方或运用因式分解的方法，将一元二次方程转化为一元一次方程，渗透数学新知识的学习往往由未知（新知识）向已知（旧知识）转化的思想，这是研究数学问题常用的方法．
重点和难点
重点：掌握运用直接开平方法和因式分解法解某些特殊的一元二次方程；
难点：怎样的一元二次方程用直接开平方法，以及用因式分解法，理解一元二次方程的解的情况．
教学过程
一、创设情境
问题 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流．
(1)x2＝4； (2)x2-1＝0．
二、探究归纳
概括 (1)x2＝4，一个数x的平方等于4，这个数x叫做4的平方根（或二次方根）；根据平方根的性质，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；所以这个数x为±2，所以x＝±2．
我们知道，求一个数平方根的运算叫做开平方．这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．直接开平方法的实质是求一个数平方根的运算．
(2)x2-1＝0，如果把它化为x2＝1，由直接开平方法，得x＝±1．
对于x2-1＝0，将左边运用平方差公式因式分解后再解这个方程，(x＋1)(x－1)＝0，必有x＋1＝0或x－1＝0，从而得，x1＝-1，x2＝1．
这种通过因式分解来解一元二次方程的方法叫因式分解法．通常用x1、x2来表示未知数为x的一元二次方程的两个实数解．
思考 (1)能够运用直接开平方法来求解的一元二次方程有什么特征？
(2)x2＝4能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将它化成什么形式？
能够运用直接开平方法来求解的一元二次方程形如x2＝a(a≥0)；用因式分解法来解时，首先应将它化成一般形式．
三、实践应用
例1 试用两种方法解方程：x2-900＝0．
学生分组分别用直接开平方法和因式分解法解这个方程．
并指出x＝±30，或x1＝30，x2＝-30都可以作为方程的解．
例2 解方程：(1)x2-2＝0；(2)16x2-25＝0．
分析 对于缺少一次项的一元二次方程ax2+c＝0(a≠0),用直接开平方法来解比较简便．
解 (1)移项，得 x2＝2，
直接开平方，得 x＝.
所以原方程的解是
(2)移项，得16x2＝25，
方程的两边都除以16，得x2，
直接开平方，得，
原方程的解是．
思考 本题若用因式分解法求解，应如何解？
例3 解方程(1)3x2＋2x＝0；(2)x2＝3x．
分析 将方程化成一般形式后，可把左边因式分解再求解，因式分解的常用方法有提公因式法和运用公式法.
解 (1)方程左边分解因式，得x(3 x＋2)＝0，
所以 x＝0，或3 x＋2＝0．
原方程的解是.
(2)原方程化为x2－3x＝0
方程左边分解因式，得x(x－3)＝0，
所以 x＝0，或x－3＝0
原方程的解是x1＝0，x2＝3.
注意 运用因式分解法解一元二次方程的步骤：
(1)方程化为一般形式；
(2)方程左边因式分解；
(3)至少一个一次因式等于零得到两个一元一次方程；
(4)两个一元一次方程的解就是原方程的解．
例4 解方程3(x－2)－x(x－2)＝0．
分析 这个方程的左边能否因式分解？有没有必要去掉括号化成一般形式？
解 原方程可变形为(x－2)(3－x)＝0．
所以x－2＝0或3－x＝0．
原方程的解是x1＝2，x2＝3．
四、交流反思
1.如果一元二次方程的一边是含有未知数的平方，另一边是一个非负常数，便可用直接开平方法来解．如ax2＝c（a、c为常数，a≠0，c≥0）．
2.平方根的概念为直接开平方法的引入奠定了基础，同时直接开平方法也为其它一元二次方程的解法起了一个抛砖引玉的作用．两边开平方实际上是实现方程由二次转化为一次，实现了由未知向已知的转化．由高次向低次的转化，是高次方程解法的一种根本途径．
3.一元二次方程可能有两个不同的实数解，也可能有两个相同的实数解，也可能无实数解．如方程x2＝－3，就没有实数解；x2＝0，有两个相等的实数解是x1＝x2＝0．
4.运用因式分解法解一元二次方程，一般要把方程化成一般形式，再运用提公因式法或公式法进行分解因式，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，然后求解；但有时不一定要化成一般形式（如例4）．在解方程的过程中，要注意方程的结构特点，进行灵活适当的变换，择其简捷的方法，达到又快又准地求出方程解的目的．
五、检测反馈
1.解下列方程：
(1)x2＝169； (2)45－x2＝0；
(3)12y2－25＝0； (4) x2－2x＝0；
(5)(t－2)(t＋1)＝0； (6)(x＋1)2－5 x＝0．
2.小明在解方程x2＝3x时，将方程两边同除以x，得x＝3，这样做法对吗？为什么？
3.用适当的方法解下列方程：
(1)； (2)；
(3)x(x-1)+3(x-1)＝0； (4)(3x-1)2-x2＝0．
六、布置作业
习题23．2的1.