初一竞赛讲座03（数字、数位及数谜问题）.doc

初一数学竞赛讲座(三)
数字、数位及数谜问题
一、 一、知识要点
1、整数的十进位数码表示
一般地，任何一个n位的自然数都可以表示成：

其中，a i (i=1，2，…，n)表示数码，且0≤a i≤9，a n≠0.
对于确定的自然数N，它的表示是唯一的，常将这个数记为N=
2、正整数指数幂的末两位数字
(1) (1)    设m、n都是正整数，a是m的末位数字，则mn的末位数字就是an的末位数字。
(2) (2)    设p、q都是正整数，m是任意正整数，则m 4p+q 的末位数字与m q的末位数字相同。
3、在与整数有关的数学问题中，有不少问题涉及到求符合一定条件的整数是多少的问题，这类问题称为数迷问题。这类问题不需要过多的计算，只需要认真细致地分析，有时可以用“凑”、“猜”的方法求解，是一种有趣的数学游戏。
二、 二、例题精讲
例1、有一个四位数，已知其十位数字减去2等于个位数字，其个位数字加上2等于其百位数字，把这个四位数的四个数字反着次序排列所成的数与原数之和等于9988，求这个四位数。
分析：将这个四位数用十进位数码表示，以便利用它和它的反序数的关系列式来解决问题。
解：设所求的四位数为a´103+b´102+c´10+d，依题意得：
(a´103+b´102+c´10+d)+( d´103+c´102+b´10+a)=9988
∴ (a+d) ´103+(b+c) ´102+(b+c) ´10+ (a+d)=9988
比较等式两边首、末两位数字，得 a+d=8，于是b+c18
又∵c-2=d，d+2=b，∴b-c=0
从而解得：a=1，b=9，c=9，d=7
故所求的四位数为1997
评注：将整数用十进位数码表示，有助于将已知条件转化为等式，从而解决问题。

例2 一个正整数N的各位数字不全相等，如果将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N，则称N为“新生数”，试求所有的三位“新生数”。
分析：将所有的三位“新生数”写出来，然后设出最大、最小数，求差后分析求出所有三位“新生数”的可能值，再进行筛选确定。
解：设N是所求的三位“新生数”，它的各位数字分别为a、b、c(a、b、c不全相等)，将其各位数字重新排列后，连同原数共得6个三位数：，不妨设其中的最大数为，则最小数为。由“新生数”的定义，得
N=
由上式知N为99的整数倍，这样的三位数可能为：198，297，396，495，594，693，792，891，990。这9个数中，只有954-459=495符合条件。
故495是唯一的三位“新生数”
评注：本题主要应用“新生数”的定义和整数性质，先将三位“新生数”进行预选，然后再从中筛选出符合题意的数。这也是解答数学竞赛题的一种常用方法。

例3 从1到1999，其中有多少个整数，它的数字和被4整除？
将每个数都看成四位数(不是四位的，在左面补0)，0000至1999共2000个数。千位数字是0或1，百位数字从0到9中选择，十位数字从0到9中选择，各有10种。
在千、百、十位数字选定后，个位数字在2到9中选择，要使数字和被4整除，这时有两种可能：设千、百、十位数字和为a，在2，3，4，5中恰好有一个数b，使a+b被4整除(a+2、a+3、a+4、a+5除以4，余数互不相同，其中恰好有一个余数是0，即相应的数被4整除)；在6，7，8，9中也恰好有一个数c(=b+4)，使a+c被4整除。因而数字和被4整除的有：2´10´10´2=400个
再看个位数字是0或1的数。千位数字是0或1，百位数字从0到9中选择，在千、百、个位数字选定后，十位数字在2到9中选择。与上面相同，有两种可能使数字和被4整除。因此数字和被4整除的又有：2´2´10´2=80个。
在个位数字、十位数字、千位数字均为0或1的数中，百位数字在2到9中选择。有两种可能使数字和被4整除。因此数字和被4整除的又有：2´2´2´2=16个。
最后，千、百、十、个位数字为0或1的数中有两个数，数字和被4整除，即1111和0000，而0000不算。
于是1到1999中共有400+80+16+1=497个数，数字和被4整除。

例4 圆上有9个数码，已知从某一位起把这些数码按顺时针方向记下，得到的是一个9位数并且能被27整除。证明：如果从任何一位起把这些数码按顺时针方向记下的话，那么所得的一个9位数也能被27整除。
分析：把从某一位起按顺时针方向记下的9位数记为：，其能被27整除。
只需证明从其相邻一位读起的数：也能被27整除即可。
证明：设从某一位起按顺时针方向记下的9位数为：
依题意得：=能被27整除。
为了证明题目结论，只要证明从其相邻一位读起的数：也能被27整除即可。
=
∴10•-
=10()-()
=-()
=
∵
而999能被27整除，∴10003-1也能被27整除。
因此，能被27整除。从而问题得证。
评注：本题中，109-1难以分解因数，故将它化为10003-1，使问题得到顺利解决。
这种想办法降低次数的思想，应注意领会掌握。

例5 证明：111111+112112+113113能被10整除
分析：要证明111111+112112+113113能被10整除，只需证明111111+112112+113113的末位数字为0，即证111111，112112，113113三个数的末位数字和为10。
证明：111111的末位数字显然为1；
112112=(1124)28，而1124的末位数字是6，所以112112的末位数字也是6；
113113=(1134)28•113，1134的末位数字是1，所以113113的末位数字是3；
∴111111，112112，113113三个数的末位数字和为1+6+3=10
∴111111+112112+113113能被10整除
评注：本题是将证明被10整除转化为求三数的末位数字和为10。解决数学问题时，常将未知的问题转化为熟知的问题、复杂的问题转化为简单的问题，这是化归思想。

例6 设P (m)表示自然数m的末位数，
求的值。
解：=++…+
=
=
∵1995=10´199+5，又因为连续10个自然数的平方和的末位数都是5
∴=5+5=10
又=0
∴=10
评注：本题用到了连续10个自然数的平方和的末位数都是5这个结论。

例7 请找出6个不同的自然数，分别填入6个问号中，使这个等式成立。(第三届华杯赛口试题)
分析：分子为1分母为自然数的分数称作单位分数或埃及分数，它在很多问题中经常出现。解决这类问题的一个基本等式是：，它表明每一个埃及分数都可以写成两个埃及分数之和。
解：首先，1= 从这个式子出发，利用上面给出的基本等式，取n=2可得：
∴1=
又利用上面给出的基本等式，取n=3可得：
∴ 1=
再利用上面给出的基本等式，取n=4可得：
∴ 1=
最后再次利用上面给出的基本等式，取n=6可得：
∴ 1=
即可找出2，5，20，12，7，42六个自然数分别填入6个问号中，使等式成立。
评注：1、因为问题要求填入的六个自然数要互不相同，所以每步取n时要适当考虑，如：最后一步就不能取n=5，因为n=5将产生，而已出现了。
2、本题的答案是不唯一的，如最后一步取n=12，就可得：
1=

例8 如图，在一个正方体的八个顶点处填上1到9这些数码中的8个，每个顶点处只填一个数码，使得每个面上的四个顶点处所填的数码之和都相等，并且这个和数不能被那个未被填上的数码整除。求所填入的8个数码的平方和。
(第12届“希望杯”数学竞赛培训题)
解：设a是未填上的数码，s是每个面上的四个顶点处所填的数码之和，由于每个顶点都属于3个面，所以
6s=3(1+2+3+4+5+6+7+8+9)-3a
即6s=3•45-3a，于是2s=45-a，可以断定a是奇数
而a不整除s，所以a只能是7，则填入的8个数码是
1，2，3，4，5，6，8，9，它们的平方和是：
12+22+32+42+52+62+82+92=236

例9在右边的加法算式中，每个€表示一个数字，任意两个数字都不同。试求A和B乘积的最大值。
€
€ €
+) € € €
€ € A B
分析：先通过运算的进位，将能确定的€确定下来，再来分析求出A和B乘积的最大值。
解：设算式为：
a
b c
+) d e f
g h A B
显然，g=1，d=9，h=0
a+c+f=10+B，b+c=9+A, ∴A≤6
2 (A+B)+19=2+3+4+5+6+7+8=35，∴A+B=8
要想A•B最大，∵ A≤6，∴取A=5，B=3。此时b=6,e=8,a=2,c=4,f=7,故A•B的最大值为15.
评注：本题是通过正整数的十进制的基本知识先确定g，d，h，然后再通过分析、观察得出A、B的关系，最后求出A•B的最大值。

例10 在一种游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数。并请这个人算出5个数、、、、的和N，把N告诉魔术师，于是魔术师就能说出这个人所想的数。现在设N=3194，请你做魔术师，求出数来。(第四届美国数学奥林匹克试题)
解：将也加到和N上，这样a、b、c就在每一位上都恰好出现两次，所以有
+N=222(a+b+c) ①
从而 3194<222(a+b+c)<3194+1000，而a、b、c是整数
所以 15≤a+b+c≤18
因为 222´15-3194=136，222´16-3194=358，222´17-3194=580，222´18-3194=802
其中只有3+5+8=16能满足①式，所以=358
评注：本题将也加到和N上，目的是使得由a、b、c组成的6个三位数相加，这样a、b、c在每个数位上出现的次数相同。这一技巧在解决数字问题中经常使用。

三、 三、巩固练习
选择题
1、两个十位数1111111111和9999999999和乘积的数字中有奇数( )
A、7个 B、8个 C、9个 D、10个
2、若自然数n使得作竖式加法n+(n+1)+(n+2)时均不产生进位现象，便称n为“连绵数”。如因为12+13+14不产生进位现象，所以12是“连绵数”；但13+14+15产生进位现象，所以13不是“连绵数”，则不超过100的“连绵数”共有( )个
A、9 B、11 C、12 D、15
3、有一列数：2，22，222，2222，…，把它们的前27个数相加，则它们的和的十位数字是( )
A、9 B、7 C、5 D、3
4、19932002+19952002的末位数字是( )
A、6 B、4 C、5 D、3
5、设有密码3•BIDFOR=4• FORBID，其中每个字母表示一个十进制数字，则将这个密码破译成数字的形式是
6、八位数141§28ª3是99的倍数，则§= ，ª=
填空题
7、若，其中a、b都是1到9的数字，则a= ,b=
8、在三位数中，百位比十位小，并且十位比个位小的数共有 个。
9、在六位数2552中皆是大于7的数码，这个六位数被11整除，那么，四位数。
10、4343的末位数字是
11、2 m+2000-2 m(m是自然数)的末位数字是
12、要使等式成立，处填入的适当的自然数是
解答题
13、有一个5位正奇数x，将x中的所有2都换成5，所有的5都换成2，其他数字不变，得到一个新的五位数，记作y。若x和y满足等式y=2 (x+1)，求x
14、有一个若干位的正整数，它的前两位数字相同，且它与它的反序数之和为10879，求原数。
15、求出所有满足如下要求的两位数：分别乘以2，3，4，5，6，7，8，9时，它的数字和不变。
16、求12+22+32+42+…[phone]的末位数
17、求符合下面算式的四位数
abcd
´ 9
dcba
18、设是一个三位数，a3>a1，由减去得一个三位数，
证明：+=1089
19、对于自然数n，如果能找到自然数a和b，使得n=a+b+ab,那么n就称为“好数”。如3=1+1+1´1，所以3是“好数”。在1到100这100个自然数中，有多少个“好数”？
20、AOMEN和MACAO分别是澳门的汉语拼音和英文名字。如果它们分别代表两个5位数，其中不同的字母代表从1到9中不同的数字，相同字母代表相同的数字，而且它们的和仍是一个5位数，求这个和可能的最大值是多少？