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考点跟踪训练7　一元二次方程

一、选择题
1．(2011·嘉兴)一元二次方程x(x－1)＝0的解是(　　)
A. x＝0 B. x＝1
C. x＝0或x＝1 D. x＝0或x＝－1
答案　C
解析　x(x－1)＝0，x＝0或x－1＝0，∴x1＝0，x2＝1.
2．(2011·兰州)用配方法解方程x2－2x－5＝0时，原方程应变形为(　　)
A．(x＋1)2＝6 B．(x＋2)2＝9
C．(x－1)2＝6 D．(x－2)2＝9
答案　C
解析　x2－2x－5＝0，x2－2x＝5，x2－2x＋1＝5＋1，(x－1)2＝6.
3．(2011·福州)一元二次方程x(x－2)＝0根的情况是(　　 )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
答案　A
解析　x(x－2)＝0，x＝0或x－2＝0，x1＝0，x2＝2，方程有两个不相等的实数根．
4．(2011·济宁)已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a(a≠0)，则a－b值为A(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案　A
解析　当x＝－a时，得a2－ab＋a＝0，a(a－b＋1)＝0，又a≠0.所以a－b＋1＝0，a－b＝－1.
5．(2011·威海)关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是(　　)
A．0 B．8 C．4±2 D．0或8
答案　D
解析　由题意，得b2－4ac＝0，(m－2)2－4(m＋1)＝0，m2－8m＝0，m＝0或m＝8.
二、填空题
6．(2011·衢州)方程x2－2x＝0的解为________________．
答案　x1＝0，x2＝2
解析　x2－2x＝0，x(x－2)＝0，x＝0或x－2＝0，x1＝0，x2＝2.
7．(2011·鸡西)一元二次方程a2－4a－7＝0的解为 ____________.
答案　a1＝2＋，a2＝2－
解析　a2－4a－7＝0，a2－4a＝7.a2－4a＋4＝11，(a－2)2＝11，a－2＝±，∴a＝2±.
8．(2011·镇江)已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为2，则m＝______，另一根是______．
答案　1，－3
解析　当x＝2时，4＋2m－6＝0,2m＝2，m＝1，∴x2＋x－6＝0.(x－2)(x＋3)＝0，x1＝2，x2＝－3，另一根是－3.
9．(2011·黄石)解方程：＋(3 x－5y－10)2＝0的解是__________________．
答案　或
解析　代入消去x，得y2－5y＋4＝0，y1＝1，y2＝4，相应地x1＝，x2＝2 .
10．(2011·兰州)关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝－2，x2＝1(a，m，b均为常数，a≠0)，则方程a(x＋m＋2)2＋b＝0的解是__________．
答案　x1＝－4，x2＝－1
解析　依题意，有x＋2＝－2或x＋2＝1，∴x＝－4或x＝－1.
三、解答题
11．(2011·南京)解方程：x2－4x＋1＝0.
解　解法一：移项，得x2－4x＝－1.
配方，得x2－4x＋4＝－1＋4，(x－2)2＝3，
由此可得x－2＝±，
∴x1＝2＋，x2＝2－.
解法二：a＝1，b＝－4，c＝1.
b2－4ac＝(－4)2－4×1×1＝12>0，
x＝＝2±.
∴x1＝2＋，x2＝2－.
12．(2011·聊城)解方程：x＋x－2＝0.
解　(x－2)(x＋1)＝0，解得x－2＝0或x＋1＝0，x1＝2，x2＝－1.
13．(2011·广东) 解方程组：
解　
由①得： x＝2y.③
将③代入②，化简整理，得：y2＋3y－4＝0.
解得：y＝1或y＝－3.
将y＝1或y＝－3代入①，得：
或
∴原方程的解有两个，

14．(2011·苏州)已知|a－1|＋＝0，求方程＋bx＝1的解．
解　由|a－1|＋＝0，得a＝1，b＝－2.
由方程－2x＝1得2x2＋x－1＝0.
解之，得x1＝－1，x2＝.
经检验，x1＝－1，x2＝是原方程的解．
∴原方程的根为x1＝－1，x2＝.
15．(2011·芜湖)如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为(x2＋17) cm，正六边形的边长为(x2＋2x) cm(其中x>0)．求这两段铁丝的总长．

解　由已知得，正五边形周长为5(x2＋17) cm，正六边形周长为6(x2＋2x) cm.
因为正五边形和正六边形的周长相等，
所以5(x2＋17)＝6(x2＋2x)．
整理得x2＋12x－85＝0，配方得(x＋6)2＝121，
解得x1＝5，x2＝－17(舍去)．
故正五边形的周长为5×(52＋17)＝210(cm)．
又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420 cm.
答：这两段铁丝的总长为420 cm.
四、选做题
16．(2010·孝感)已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1、x2.

(1)求k的取值范围；
(2)若＝x1x2－1，求k的值．
解　(1)依题意，b2－4ac≥0，即[－2(k－1)]2－4k2≥0，－8k＋4≥0，解得k≤.
(2)解法一：依题意，得x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2.
以下分两种情况讨论：
①当x1＋x2≥0时，则有x1＋x2＝x1x2－1，即2(k－1)＝k2－1，解得k1＝k2＝1.
∵k≤，
∴k1＝k2＝1不合题意，舍去．
②x1＋x2<0时，则有x1＋x2＝－，即2(k－1)＝－，解得k1＝1，k2＝－3.
∵k≤，∴k＝－3.
综合①、②可知k＝－3.
解法二：依题意可知x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2.
由(1)可知k≤.
∴2(k－1)<0，即x1＋x2<0，
∴－2(k－1)＝k2－1，
解得k1＝1，k2＝－3.
∵k≤，∴k＝－3.