棱柱及棱锥、正多面体及球.doc

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一、棱柱
1. 如果一个多面体________________，__________________________________________，这样的多面体叫棱柱。棱柱有以下几种分类：
(1).棱柱→斜棱柱→直棱柱→正棱柱；(2).三棱柱→四棱柱→五棱柱→……；(3).四棱柱→平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体。
2.棱柱的主要性质
(1).侧棱都________，侧面都是____________，直棱柱的各个侧面都是________ ，正棱柱的各个侧面都是_____________ ；(2).两个底面与平行于底面截面是___________________； (3).过不相邻的两条侧棱的截面都是__________。
3.平行六面体与长方体、正四棱柱、正方体
(1).把底面是平行四边形的__________ 叫平行六面体，侧棱与底面垂直的平行六面体叫___
__________ ，底面是________ 的_________________叫长方体，底面是________的_______ _______ 叫正四棱柱，棱长都_______ 的______________ 叫正方体；
(2).性质定理：①平行六面体的对角线_____________，并且在交点处_____________；②设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,对角线长为ι,则它们四者的关系为_____________，即对角线的平方等于______________________；若对角线与长、宽、高的夹角分别为、β、，则=_______;=_______;若对角线与有公共点的三个面的夹角分别为、β、，则=_______;=_______。
4.有关计算：
(1). __________________________,(2). _______________________, (3). _________=__________ (直截面是垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面)。
举例
1. 已知棱柱的一条侧棱与底面成角，并且侧棱长为16，则棱柱的高为_______。
2. 在直四棱柱中，底面是菱形，1则截的面积为_______，异面直线成角的余弦值为_______。
3. 正三棱柱所有棱长都为，M是BC的中点，N是一点，满足MN⊥.
(1).试确定点N的位置；
(2).求。

二．棱锥
1.棱锥的概念和性质：(1).棱锥:有一个面是__________ ，其余各面是__________ __________ ，由这些面所围成的几何体叫棱锥（棱锥的顶点，侧面，底面，侧棱，高及其表示等）。(2)棱锥按底面多边形的边数可分为三棱锥，四棱锥，五棱锥，……等.(3).性质定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面__________，它们的面积比等于截得棱锥的高和原棱锥的高的______________，即____________________。
2.正棱锥的概念和性质：(1).正棱锥的概念：如果一个棱锥的底面是__________，且顶点在底面内的射影是底面的_______，这样的棱锥叫正棱锥。(2).正棱锥的性质： ①各侧棱都________，各侧面都是_______的__________，各侧面底边上的高叫棱锥的斜高，正棱锥的斜高_______。②棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个__________，棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个__________，棱锥的底面外接圆的半径（即侧棱在底面上的射影或底面的半径）、边心距（即斜高在底面上的射影或底面的内切圆的半径）和底面相应边的一半也组成一个__________。
3.棱锥的（侧）面积及体积： _____________（C是底面周长），______。
举例
1.正四棱锥侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是面积为菱形，为锐角。
(1).求证：PA⊥CD;
(2).求二面角P-AB-D的度数；
(3).求棱锥p-ABCD的侧面积及全面积。

三．多面体和球
1.正多面体的概念：每个面都是有_________的_________，且以每个顶点为端点都有_______的____多面体叫正多面体。
2.正多面体的类型及性质（注：正多面体仅有五种）：
项目
类型
面数
F
顶点数
V
棱数
E
过每个顶点的棱数
各面的边数
面的特征
面数（F）、顶点数（V）、棱数（E）三者的关系
正四面体
4
4
6
3
3
正三角形

F+V-E=2
正六面体
6
8
12
3
4
正四边形
正八面体
8
6
12
4
3
正三角形
正十二面体
12
20
30
3
5
正五边形
正二十面体
20
12
30
5
3
正三角形
3.球：(1).球的定义：（动点）与定点的距离_________ 或_________ 定长的（动）点的集合，叫做球体，简称球；________ 叫球心；________ 球的半径；（动点）与与定点的距离_________定长的（动）点的集合，叫做球面；……。
(2).性质：
①用一个平面去截一个球，截面是一个________（联系“经线（度）与纬线（度）”，球心和截面圆心的连线________截面，设球心到截面的距离（即球心与截面圆心的连线段得长度）为d，球的半径为R，截面圆的半径为r,则它们的关系为：________________或________________，即_________________________________________________________；②球面被经过球心的平面截的圆面叫___________，被不经过球心的平面截的圆面叫___________；③球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的劣弧的_________ ，这段劣弧的长度叫做__________________。
(3).球面的面积（即球表面的面积）和球的体积公式（设球的半径为R）：
______=____；_______=____=____。
举例
1.关于正多面体的概念，下面系叙述正确的是 （ ）
A.每个面都是正多边形的多面体 B. 每个面都是有相同边数的正多边形的多面体
C. 每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端点都有相同数目的棱的多面体 D. 每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端点都有相同数目的棱的凸多面体
2.有下列命题：
①过球面上任意两点只能作一个球的大圆 ②球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径
③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面 ④球面是与定点的距离等于定长的所有（动）点的集合
3.在北纬45度圈上有A,B两地，A在东京120度，B在西京150度，设地球半径为R，则A,B两得的球面距离是___________。（提示：先算弦AB的长为R，从而得其所对大圆的圆心角为60度，于是……）
4.半径为10的球被两个平行平面所截，截面面积分别是36π和64π，则这两个平行平面间的距离是________或________。
5.表面积为的各个顶点都在同一球面上，则此球的体积为________（提示：正八面体是由两个正四棱锥组成，每个正四棱锥的高都是球的半径，可求出正四棱锥的边长为1，高为,故体积V……）
6.在半径是13cm的球面上有A、B、C三点，AB=BC=CA=12cm,则球心到经过这三点的截面的距离d=______cm.
7.用一个平面去截一个半径为25cm的球，截面面积是49，则球心到截面的距离d=______cm.
8.球面的面积膨胀为原来的2倍，则体积为原来的______倍。
9.一个正方体的顶点（联系长方体，正八面体等进行分析）都在球面上，它的棱长是4cm,则这个球的一个大圆的面积为________，一个大圆的周长为________，该球面的面积为___
________，该球的体积为________。
10.已知点A,B在北纬45的纬线上，点A在东京30经线上，点B在东京120经线上，若地球的半径为R，则A,B的球面距离为________，夹在A,B间纬线的逆弧为________（比较一下二者大小关系，从而得出什么结论）。
11.（2009.四川）如图所示，在半径为3的球面上有A、B、C三点，∠ABC=90，BA=BC,球心O到平面ABC的距离为，则A,B两点的球面距离是 （ ）
A. B. C. D. 2

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