1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。,第四章 实数连续性,4.1 实数连续性定理,4.2 闭区间连续函数整体性质证实,1/61,极限理论问题首先是极限存在问题.一个数列是否存在极限，不但与数列本身结构相关，而且与数列所在数集相关.,我们知道有理数列极限不一定是有理数,但在实数集内，实数列极限一定是实数.实数这个性质称为实数集连续性或实数完备性.所以实数集连续性是数学分析理论基础.下面我们给出几个等
2、价描述实数集连续性定理.这些定理是数学分析理论基石.,4.1 实数连续性定理,2/61,定理1,.,(,闭区间套定理,),设有闭区间列,若:,则存在唯一数 属于全部闭区间(即 ),且:,一、闭区间套定理,3/61,从图上看,有一列闭线段(两个端点也属于此线段),后者被包含在前者之中,而且这些闭线段长组成数列以0为极限.则这一闭线段存在唯一一个公共点.,注:,普通来说,将闭区间列换成开区间列,区间套定理不一定成立.,4/61,5/61,6/61,7/61,8/61,非空数集 有上界,则它有没有限多个上界,在这无,限多个上界之中,有一个上界 与数集 有一个特殊,关系.,定义,:,设 是非空数集.若
3、 使,(1),(2),则称是 数集 上确界.表为,二、确界定理,9/61,定义,:,设 是非空数集.若 使,(1),(2),则称是 数集 下确界.表为,定理(,可列化,),设 是非空集合，则,定理(,可列化,),设 是非空集合，则,10/61,11/61,12/61,13/61,14/61,15/61,作为确界定理应用，我们用确界定理来证实单调有界数列必有极限公理.,16/61,17/61,设 是一个区间（或开或闭）、并有开区间集,（元素都是开区间、开区间个数可有限也可,无限）.,定义,：,若 则称开区间集,覆盖区间 .,三、有限覆盖定理,一个开覆盖.,18/61,定理3,(,有限覆盖定理,）
4、,若开区间集 覆盖闭,区间 ，则 中存在有限个开区间也覆盖了,闭区间 .,注：,1.有限覆盖定理亦称为,紧致性,定理或,海涅-波莱尔,定理.,2.在有限覆盖定理中，将被覆盖闭区间 改为,开区间 ,定理不一定成立.比如开区间集,覆盖开区间 ，不过，中任意有限个开区间,都不能覆盖开区间,19/61,证实,此定理证实方法有各种,这里还是利用区间套定理来证实,依然要注意区间套取法.,若定理不成立,也就是说 不能被,中任何有限个开区间所覆盖.将区间 等分成两个子区间,那么这两个子区间中最少有一个不能被,中任意有限个开区间所覆盖,设该区间为,显然有,20/61,再将,a,1,b,1,等分成两个子区间,其中
5、最少有一个,不能被,S,中有限个开区间所覆盖.设该区间为,a,2,b,2,一样有,将上述过程无限进行下去,可得一列闭区间,满足以下三个性质:,(iii)对每一个闭区间,a,n,b,n,都不能被,S,中有限个,21/61,这就是说,a,N,b,N,被,S,中一个开区间所覆盖,开,区间所覆盖.,矛,盾.,22/61,四、聚点定理,23/61,24/61,25/61,26/61,27/61,证,设,a,n,为有界数列,若,a,n,中有没有限项相等,取,这些相等项可成一个子列.该子列显然是收敛,若数列,a,n,不含有没有限多个相等项,则,a,n,作,为,点集是有界.由聚点原理,可设,是,a,n,一个,
6、聚,定理5,(,致密性定理,),有界数列 必有收敛子列 .,敛于,.,点,那么再由命题2,可知,a,n,中有,一个子列,收,五、致密性定理,定理,4,有一个非常主要推论,(致密性定理,).,该,定理在整个数学分析中,显得十分活跃.,28/61,又因,由极限不等式性质,可得,作为致密性定理应用,我们来看下面这个例,题.,例3,设 在 上连续，假如,那么存在 使,证实,:,因 故 有界.由致密性定理，,29/61,30/61,六、柯西收敛准则,31/61,定理6,(,柯西收敛准则,),数列 收敛,我们在2.2定理8中己给出数列柯西收敛准则必要性证实,在这里我们仅证实它充分性.,证,32/61,.下
7、面证实,a,n,以,a,为极限.,因为,a,n,是柯西列,所以对于任意正数,33/61,34/61,35/61,例5,用有限覆盖定理证实聚点定理.,证,设,S,是无限有界点集,则存在,M,0,使得,设开区间集,36/61,很显著,H,覆盖了闭区间,M,M,.,依据有限覆盖,由,H,结构,所以,矛盾.,定理,存在,H,中有限子覆盖,37/61,实数完备性理论一个主要作用就是证,明闭区,明闭区间上连续函数性质，这些性质,曾,经在第三,4.2 闭区间连续函数性质证实,经在第三章给出过.,一、性质证实,二、,一致连续性定理,38/61,一、性质证实,定理1,(,有界性,),若函数 在闭区间连,续,则函
8、数 在闭区间 有界,即,证法,由已知条件得到函数 在,每一,点某个邻域有界.要将函数,在每一点,邻,域有界扩充到在闭区间 有界,可应用有,限覆,盖定理,从而能找到 .,39/61,证实,:,(,应用有限覆盖定理证实,),由连续函数局部有界性:,40/61,另一个证法,采取致密性定理.,设,f,(,x,)在,a,b,上无界,不妨设,f,(,x,)无上界.则存在,41/61,故由归结原理可得,矛盾.,写方便,不妨假设,x,n,本身收敛,令,因为,x,n,有界,从而存在一个收敛子列.为了书,42/61,定理2,(,最值性,),若函数 在闭区间 连续,则函数 在 取到最小值,与最大值 ,即在 上存在
9、与 ,使,且,证法,只给出取到最大值证实.依据定理1,函数,在 有界.,43/61,证实,设 ,用反证法,假设,显然,函数,在 连续,且 .于是,函数,在 连续.依据定理1,存在,有即 不是数集 上确界,矛盾,.于是,44/61,定理3,(,零点定理,),若函数 在闭区间连续，且 (即 异号),则在开区间 内最少存在一点 ,使 .,证实,因,f,(,x,)在,a,b,连续且 ,将,a,b,等分成两个区间,a,c,c,b,若,f,(,c,),=,0,已证.不然,函数,f,(,x,)在这两个区间中有一个区,间端点上值异号,将这个区间记为,a,1,b,1,.再,将,a,1,b,1,等分成两个区间,a
10、,1,c,1,c,1,b,1,若,45/61,f,(,c,1,),=,0,已证.不然一样可知函数,f,(,x,)在其中,个区间端点上值异号.将这个过程继续进行,下去,得到一列闭子区间 ,a,n,b,n,满足:,由区间套定理,存在惟一,46/61,47/61,设,在某一区间连续,按照定义,也就是,在区间内每一点都连续。即对,从连续定义不难看到,大小，首先与给定 相关；另首先与点 位置也相关，也就是，当 暂时固定时，因点 位置不一样，大小也在改变.,二、一致连续性,48/61,如图,当 给定后,如在 附近,函数图象改变比较“慢”,对应 较大;在点 附近,函数图象改变比较“快”,对应 较小.,49/
11、61,50/61,一致连续否定就是非一致连续,二者对比以下,51/61,52/61,53/61,54/61,证(证法一),首先用致密性定理来证实该定理.在,设,f,(,x,)在,a,b,上不一致连续,即存在,究(可列化方法).,下述证实过程中,选子列方法值得大家仔细探,定理,4,(Cantor,一致连续定理,),若函数,f,(,x,)在,a,b,上连续,则,f,(,x,)在,a,b,上一致连续.,55/61,现分别取,56/61,因为,x,n,有界,从而由致密性定理,存在,x,n,57/61,因为,所以由极限不等式性质,连续,所以由归结原理得到,矛盾.,(证法二),再用有限覆盖定理来证实.,以及,f,58/61,考虑开区间集,那么,H,是,a,b,一个开覆盖.由有限覆盖定理,因,f,(,x,)在,a,b,上连续,对任意一点,存在有限个开区间,59/61,对于任何,那么,必属于上述,n,个小区间中,一个,也覆盖了,a,b,.,60/61,所以由小区间定义得知,这就证实了,在,a,b,上一致连续性.,61/61,
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