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实数的完备性省名师优质课赛课获奖课件市赛课百校联赛优质课一等奖课件.ppt

1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考,不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考,不能作为科学依据。本资料仅供参考,不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考,不能作为科学依据。,第四章 实数连续性,4.1 实数连续性定理,4.2 闭区间连续函数整体性质证实,1/61,极限理论问题首先是极限存在问题.一个数列是否存在极限,不但与数列本身结构相关,而且与数列所在数集相关.,我们知道有理数列极限不一定是有理数,但在实数集内,实数列极限一定是实数.实数这个性质称为实数集连续性或实数完备性.所以实数集连续性是数学分析理论基础.下面我们给出几个等

2、价描述实数集连续性定理.这些定理是数学分析理论基石.,4.1 实数连续性定理,2/61,定理1,.,(,闭区间套定理,),设有闭区间列,若:,则存在唯一数 属于全部闭区间(即 ),且:,一、闭区间套定理,3/61,从图上看,有一列闭线段(两个端点也属于此线段),后者被包含在前者之中,而且这些闭线段长组成数列以0为极限.则这一闭线段存在唯一一个公共点.,注:,普通来说,将闭区间列换成开区间列,区间套定理不一定成立.,4/61,5/61,6/61,7/61,8/61,非空数集 有上界,则它有没有限多个上界,在这无,限多个上界之中,有一个上界 与数集 有一个特殊,关系.,定义,:,设 是非空数集.若

3、 使,(1),(2),则称是 数集 上确界.表为,二、确界定理,9/61,定义,:,设 是非空数集.若 使,(1),(2),则称是 数集 下确界.表为,定理(,可列化,),设 是非空集合,则,定理(,可列化,),设 是非空集合,则,10/61,11/61,12/61,13/61,14/61,15/61,作为确界定理应用,我们用确界定理来证实单调有界数列必有极限公理.,16/61,17/61,设 是一个区间(或开或闭)、并有开区间集,(元素都是开区间、开区间个数可有限也可,无限).,定义,:,若 则称开区间集,覆盖区间 .,三、有限覆盖定理,一个开覆盖.,18/61,定理3,(,有限覆盖定理,)

4、,若开区间集 覆盖闭,区间 ,则 中存在有限个开区间也覆盖了,闭区间 .,注:,1.有限覆盖定理亦称为,紧致性,定理或,海涅-波莱尔,定理.,2.在有限覆盖定理中,将被覆盖闭区间 改为,开区间 ,定理不一定成立.比如开区间集,覆盖开区间 ,不过,中任意有限个开区间,都不能覆盖开区间,19/61,证实,此定理证实方法有各种,这里还是利用区间套定理来证实,依然要注意区间套取法.,若定理不成立,也就是说 不能被,中任何有限个开区间所覆盖.将区间 等分成两个子区间,那么这两个子区间中最少有一个不能被,中任意有限个开区间所覆盖,设该区间为,显然有,20/61,再将,a,1,b,1,等分成两个子区间,其中

5、最少有一个,不能被,S,中有限个开区间所覆盖.设该区间为,a,2,b,2,一样有,将上述过程无限进行下去,可得一列闭区间,满足以下三个性质:,(iii)对每一个闭区间,a,n,b,n,都不能被,S,中有限个,21/61,这就是说,a,N,b,N,被,S,中一个开区间所覆盖,开,区间所覆盖.,矛,盾.,22/61,四、聚点定理,23/61,24/61,25/61,26/61,27/61,证,设,a,n,为有界数列,若,a,n,中有没有限项相等,取,这些相等项可成一个子列.该子列显然是收敛,若数列,a,n,不含有没有限多个相等项,则,a,n,作,为,点集是有界.由聚点原理,可设,是,a,n,一个,

6、聚,定理5,(,致密性定理,),有界数列 必有收敛子列 .,敛于,.,点,那么再由命题2,可知,a,n,中有,一个子列,收,五、致密性定理,定理,4,有一个非常主要推论,(致密性定理,).,该,定理在整个数学分析中,显得十分活跃.,28/61,又因,由极限不等式性质,可得,作为致密性定理应用,我们来看下面这个例,题.,例3,设 在 上连续,假如,那么存在 使,证实,:,因 故 有界.由致密性定理,,29/61,30/61,六、柯西收敛准则,31/61,定理6,(,柯西收敛准则,),数列 收敛,我们在2.2定理8中己给出数列柯西收敛准则必要性证实,在这里我们仅证实它充分性.,证,32/61,.下

7、面证实,a,n,以,a,为极限.,因为,a,n,是柯西列,所以对于任意正数,33/61,34/61,35/61,例5,用有限覆盖定理证实聚点定理.,证,设,S,是无限有界点集,则存在,M,0,使得,设开区间集,36/61,很显著,H,覆盖了闭区间,M,M,.,依据有限覆盖,由,H,结构,所以,矛盾.,定理,存在,H,中有限子覆盖,37/61,实数完备性理论一个主要作用就是证,明闭区,明闭区间上连续函数性质,这些性质,曾,经在第三,4.2 闭区间连续函数性质证实,经在第三章给出过.,一、性质证实,二、,一致连续性定理,38/61,一、性质证实,定理1,(,有界性,),若函数 在闭区间连,续,则函

8、数 在闭区间 有界,即,证法,由已知条件得到函数 在,每一,点某个邻域有界.要将函数,在每一点,邻,域有界扩充到在闭区间 有界,可应用有,限覆,盖定理,从而能找到 .,39/61,证实,:,(,应用有限覆盖定理证实,),由连续函数局部有界性:,40/61,另一个证法,采取致密性定理.,设,f,(,x,)在,a,b,上无界,不妨设,f,(,x,)无上界.则存在,41/61,故由归结原理可得,矛盾.,写方便,不妨假设,x,n,本身收敛,令,因为,x,n,有界,从而存在一个收敛子列.为了书,42/61,定理2,(,最值性,),若函数 在闭区间 连续,则函数 在 取到最小值,与最大值 ,即在 上存在

9、与 ,使,且,证法,只给出取到最大值证实.依据定理1,函数,在 有界.,43/61,证实,设 ,用反证法,假设,显然,函数,在 连续,且 .于是,函数,在 连续.依据定理1,存在,有即 不是数集 上确界,矛盾,.于是,44/61,定理3,(,零点定理,),若函数 在闭区间连续,且 (即 异号),则在开区间 内最少存在一点 ,使 .,证实,因,f,(,x,)在,a,b,连续且 ,将,a,b,等分成两个区间,a,c,c,b,若,f,(,c,),=,0,已证.不然,函数,f,(,x,)在这两个区间中有一个区,间端点上值异号,将这个区间记为,a,1,b,1,.再,将,a,1,b,1,等分成两个区间,a

10、,1,c,1,c,1,b,1,若,45/61,f,(,c,1,),=,0,已证.不然一样可知函数,f,(,x,)在其中,个区间端点上值异号.将这个过程继续进行,下去,得到一列闭子区间 ,a,n,b,n,满足:,由区间套定理,存在惟一,46/61,47/61,设,在某一区间连续,按照定义,也就是,在区间内每一点都连续。即对,从连续定义不难看到,大小,首先与给定 相关;另首先与点 位置也相关,也就是,当 暂时固定时,因点 位置不一样,大小也在改变.,二、一致连续性,48/61,如图,当 给定后,如在 附近,函数图象改变比较“慢”,对应 较大;在点 附近,函数图象改变比较“快”,对应 较小.,49/

11、61,50/61,一致连续否定就是非一致连续,二者对比以下,51/61,52/61,53/61,54/61,证(证法一),首先用致密性定理来证实该定理.在,设,f,(,x,)在,a,b,上不一致连续,即存在,究(可列化方法).,下述证实过程中,选子列方法值得大家仔细探,定理,4,(Cantor,一致连续定理,),若函数,f,(,x,)在,a,b,上连续,则,f,(,x,)在,a,b,上一致连续.,55/61,现分别取,56/61,因为,x,n,有界,从而由致密性定理,存在,x,n,57/61,因为,所以由极限不等式性质,连续,所以由归结原理得到,矛盾.,(证法二),再用有限覆盖定理来证实.,以及,f,58/61,考虑开区间集,那么,H,是,a,b,一个开覆盖.由有限覆盖定理,因,f,(,x,)在,a,b,上连续,对任意一点,存在有限个开区间,59/61,对于任何,那么,必属于上述,n,个小区间中,一个,也覆盖了,a,b,.,60/61,所以由小区间定义得知,这就证实了,在,a,b,上一致连续性.,61/61,

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