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数学形态学在图像分析中的应用
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摘要：数学形态学作为一门新兴的、以形态为基础对图像进行分析的学科，已得到了人们的广泛关注，并广泛的应用图像处理的诸多方面，如噪声抑制、特征提取、边缘检测、图像分割、形状识别、纹理处理、图像恢复与重建等。本文首先介绍了数学形态学及其特点，并根据具体的实例对图像进行分析处理，给出了具体的实验步骤，最后通过编程得到了实验结果。
关键字：数学形态学；应用；特点；图像分析；图像处理

1.概述
1.1 研究的意义和目的
目前，随着我国经济的高速发展，在很多行业的诸多领域对图像数据的处理提出了更高的要求。而数学形态学的应用可以简化图像数据，保持它们基本的形状特性，并除去不相干的结构。数学形态学的算法具有天然的并行实现的结构， 实现了形态学分析和处理算法的并行，大大提高了图像分析和处理的速度。因此研究数学形态学在图像处理中的应用具有十分重要的意义。
1.2 本文的框架结构
本文一共分为四章，第一章是概述，对全文内容进行一次提纲性的概括，起到总领的作用。第二章是数学形态学的基本概念。第三章是数学形态学在图像分析中的应用。第四章本文的结论。

2. 数学形态学的基本概念
2.1 数学形态学的历史
数学形态学(mathematical morphology)诞生于1964年，最初它只是分析几何形状和结构的数学方法，是建立在数学基础上用集合论方法定量描述几何结构的科学。1982年，随着Serra的专著《图像分析和数学形态学》的问世，数学形态学在许多领域(如图像处理、模式识别、计算机视觉等)得到广泛的重视和应用，此书的出版被认为是数学形态学发展的重要里程碑。近年来，数学形态学逐渐发展成为数字图像处理的一个主要研究领域，其基本理论和方法在计算机文字识别、计算机显微图像分析、医学图像处理、工业检测、机器人视觉等方面都取得了许多非常成功的应用。
2.2 数学形态学的基本概念
数学形态学是由一组形态学的代数运算子组成的，它的基本运算有4个： 膨胀（或扩张）、腐蚀（或侵蚀）、开启和闭合， 它们在二值图像和灰度图像中各有特点。基于这些基本运算还可推导和组合成各种数学形态学实用算法，用它们可以进行图像形状和结构的分析及处理，包括图像分割、特征抽取、边界检测、 图像滤波、图像增强和恢复等。数学形态学方法利用一个称作结构元素的“探针”收集图像的信息，当探针在图像中不断移动时， 便可考察图像各个部分之间的相互关系，从而了解图像的结构特征。数学形态学基于探测的思想，与人的FOA(Focus Of Attention)的视觉特点有类似之处。作为探针的结构元素，可直接携带知识（形态、大小、甚至加入灰度和色度信息）来探测、研究图像的结构特点。
2.2.1 构元素
所谓结构元素就是一定尺寸的背景图像，通过将输入图像与之进行各种形态学运算，实现对输入图像的形态学变换。结构元素没有固定的形态和大小，它是在设计形态变换算法的同时根据输入图像和所需信息的形状特征一并设计出来的，结构元素形状、大小及与之相关的处理算法选择得恰当与否，将直接影响对输入 图像的处理结果。通常结构元素的形状有正方形、矩形、圆盘形、菱形、球形以及线形等。
2.2.2 膨胀与腐蚀
膨胀在数学形态学中的作用是把图像周围的背景点合并到物体中。如果两个物体之间距离比较近，那么膨胀运算可能会使这两个物体连通在一起，所以膨胀对填补图像分割后物体中的空洞很有用。腐蚀在数学形态学运算中的作用是消除物体边界点，它可以把小于结构元素的物体去除，选取不同大小的结构元素可以去掉不同大小的物体。如果两个物体之间有细小的连通，当结构元素足够大时，通过腐蚀运算可以将两个物体分开。
3. 数学形态学在图像分析中的应用
数学形态学是一门建立在严格数学理论基础上的学科，其基本思想和方法对图像处理的理论和技术产生了重大影响。事实上， 数学形态学已经构成一种新的图像处理方法和理论，成为计算机数字图像处理的一个重要研究领域， 并且已经应用在多门学科的数字图像分析和处理的过程中。这门学科在计算机文字识别，计算机显微图像分析(如定量金相分析，颗粒分析)，医学图像处理（例如细胞检测、心脏的运动过程研究、 脊椎骨癌图像自动数量描述），图像编码压缩， 工业检测(如食品检验和印刷电路自动检测)，材料科学，机器人视觉，汽车运动情况监测等方面都取得了非常成功的应用。另外，数学形态学在指纹检测、经济地理、合成音乐和断层X光照像等领域也有良好的应用前景。形态学方法已成为图像应用领域工程技术人员的必备工具。目前，有关数学形态学的技术和应用正在不断地研究和发展。
数学形态学在图像分析中具有广泛的应用，下面以此两例加以说明。
3.1 星云分布统计
为了测试图l(a)(174像素×368像素)中星体的分布情况，即统计某一大小星体所占的比例，首先将原图像进行灰度变换，变换后的图像如图1(b)所示。由于某些星体处于背景较亮的地方，因而显得很模糊。为此，利用一个高帽变换(top-hat)消除图像背景中那些不一致的背景亮度，变换后的图像如图1(c)所示。可以利用一个逐渐增大尺寸的圆盘形结构元素对图1(c)不断地进行图像形态开操作，当每一次使用不同尺寸的结构元素处理之后，初始图像图1(c)和经过开操作处理的图像(图1(d)为用半径为8个像素结构元素对图1(c)进行开操作的结果)的差异可以计算出来。这里统计开操作后对象的剩余面积。从图1(e)可以看出，随着结构元素尺寸的增大，对象的剩余面积发生锐减。最后，通过计算两次开操作前、后的剩余面积的一阶差分即可估计出图像中相同大小星体所占比例，其结果见表1。

图1 星体分布 图1e
由下表可以看出，原始图像中半径为2个像素的星体所占的比例最大，约为16．3167％；半径为8个像素的星体所占比例最小，约为3．980％：星体最大半径为10个像素。
结构元素半径（像素）
相同星体像素数
所有星体总像素数
比例（%）
结构元素半径（像素）
相同星体像素数
所有星体总像素数
比例（%）
1
246
2286
10.7612
7
206
2286
9.0114
2
373
2286
16.3167
8
91
2286
3.9808
3
301
2286
13.1671
9
144
2286
6.2992
4
182
2286
7.9615
10
125
2286
5.4681
5
349
2286
15.2668
11
0
2286
0
6
269
2286
11.7673

表1 相同大小星体所占比例
3.2 粒子分析
图2(a)为一幅199像素×199像素的原子显微图像。在图2(a)中，可以看到许多相互接触的不同尺寸的对象。由于图像中各个对象的灰度比较接近，因而在图像分割之前应将对比度调至最大。进行这种对比度调节的通常方法是综合利用基于图像形态操作的高帽变换和低帽变换。由于在图2(a)中我们通常感兴趣的对象看起来像圆盘，所以在此处我们使用一个半径为15个像素的圆盘形结构元素进行图像的形态操作。图2(b)为对图2(a)进行高帽变换后的结果，图2(c)为对图2(a)进行低帽变换后的结果。可以看出高帽变换体现了适合结构元素的对象的灰度峰值，而低帽变换则体现了感兴趣对象间的灰度谷值。为了取得最佳对比度，将高帽变换结果与原始图像相加后再与低帽变换结果相减，其结果见图2(d)。为了便于观察，我们将图像进行反色，其 结果见图2(e)。然后搜索图2(e)中灰度值小于给定阈值丁(这里取殆22)的所有谷值，得到一幅二值图像图2(f)，并将图像中所有谷值像素设置为O，结果见图2(g)，用分水岭算法对图2(g)进行分割，结果见图2(h)。现在便可以从分割图像中抽取感兴趣对象的特征，如面积、方向、质心等。这里只抽取区域面积和区域方向这两个特征，将这两个特征分别看成函数的因变量与值域进行绘制，结果如图2(i)所示。

图2 粒子分析

4.结束语
通过两个具体的实例，介绍了数学形态学在图像分析中的一些应用。随着计算机技术的飞速发展和图像分析在各生产领域中的应用，要求新的方法和新的算法来满足日益增长的图像分析的需求。如何应用数学形态学理论和方法来解决实际工程中图像分析的需求是非常值得研究的一个问题。

参考文献
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