平行四边形 (2).doc

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课时提能作业(二十)
平行四边形
(30分钟　50分)
一、选择题(每小题3分,共12分)
1.从平行四边形的一个锐角顶点引两边的垂线,两垂线夹角为135°,则此四边形的四个角分别是　(　　)
A.45°,135°,45°,135° B.50°,130°,50°,130°
C.35°,35°,145°,145°　 D.55°,125°,55°,125°
【解析】选A.因为两垂线的夹角为135°,两垂线与相对应垂直的两条边得到含有两个直角的四边形.根据四边形内角和为360°,所以平行四边形锐角的度数为45°.又由平行四边形的对边平行,所以钝角度数为180°-45°=135°.
2.如图,已知四边形ABCD中,R,P分别是BC,CD上的点,E,F分别是AP,RP的中点,当点P在CD上从C向D移动而点R不动时,那么下列结论成立的是　(　　)

A.线段EF的长逐渐增大
B.线段EF的长逐渐减小
C.线段EF的长不变　　　
D.线段EF的长与点P的位置有关
【解析】选C.连结AR,EF始终是△PAR的中位线,由于AR不变,所以线段EF的长不变.
3.如图所示,在□ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F是对角线AC上的两点,当E,F满足下列哪个条件时,四边形DEBF不一定是平行四边形　(　　)

A.OE=OF　　 B.DE=BF
C.∠ADE=∠CBF　 D.∠ABE=∠CDF
【解析】选B.对于选项A,由四边形ABCD是平行四边形,知OD=OB.又因为OE=OF,所以四边形DEBF是平行四边形.对于选项B,由DE=BF,OD=OB,不能推出OE=OF,故四边形DEBF不一定是平行四边形.选项C,D中的条件均能判定四边形DEBF是平行四边形.
4.如图,过□ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH,那么图中的□AEMG的面积S1与□HCFM的面积S2的大小关系是　(　　)

A.S1>S2　　 B.S1<S2
C.S1=S2　　 D.2S1=S2
【解析】选C.∵四边形ABCD是平行四边形,EF∥BC,HG∥AB,∴AD=BC,AB=CD,AB∥GH∥CD,AD∥EF∥BC,
∴四边形HBEM、四边形GMFD是平行四边形.
在△ABD和△CDB中,∵AB=CD,BD=DB,DA=CB,∴△ABD≌△CDB,∴△ABD和△CDB的面积相等;同理△BEM和△MHB的面积相等,△GMD和△FDM的面积相等,故四边形AEMG和四边形HCFM的面积相等,即S1=S2.
二、填空题(每小题4分,共12分)
5.如图,□ABCD的对角线相交于点O,且AB≠AD,过点O作OE⊥BD交BC于点E.若△CDE的周长为10,则平行四边形ABCD的周长为__________.

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD,AB=CD,AD=BC.
∵OE⊥BD,OB=OD,∴BE=DE.
∵△CDE的周长为10,即CD+DE+EC=10,
∴□ABCD的周长为AB+BC+CD+DA=2(BC+CD)
=2(BE+EC+CD)=2(DE+EC+CD)=2×10=20.
答案:20
6.如图,在□ABCD中,已知两条对角线相交于点O,E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点,以图中各点为顶点的平行四边形(包括□ABCD)共有________个.

【解析】根据平行四边形的判定方法,可以得到以图中各点为顶点的平行四边形分别是□ABCD,□EFGH,□AFCH,□BEDG.
答案:4
7.如图,将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后,在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°,点E到了点E'位置,则四边形ACE'E的形状是________.

【解析】∵DE是△ABC的中位线,
∴DE∥AC,DE=AC.
∵将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°,点E到了点E'位置,
∴DE=DE',∴EE'=2DE=AC,
∴四边形ACE'E是平行四边形.
答案:平行四边形
三、解答题(共26分)
8.(12分)已知,如图,在□ABCD中,延长DA到点E,延长BC到点F,使得AE=CF,连结EF,分别交AB,CD于点M,N,连结DM,BN.

(1)求证:△AEM≌△CFN.
(2)求证:BD与MN互相平分.
【解题指南】(1)先根据平行四边形的性质得出AD∥BC,∠DAB=∠BCD;再根据平行线的性质及补角的性质得出∠E=∠F,∠EAM=∠FCN,从而利用ASA证明△AEM≌△CFN.
(2)证明四边形BMDN是平行四边形,根据平行四边形的性质证明BD与MN互相平分.
【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠DAB=∠BCD,∴∠EAM=∠FCN.
∵AD∥BC,∴∠E=∠F.
又∵AE=CF,∴△AEM≌△CFN.
(2)由(1)得△AEM≌△CFN,∴AM=CN.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,∴BM∥DN,BM=DN,
∴四边形BMDN是平行四边形,∴BD与MN互相平分.
【培优训练】
9.(14分)如图,在△ABC中,AC>AB,点D在AC上,AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点,连结EF并延长,与BA的延长线交于点G,若∠EFC=60°,连结GD,探索△AGD的形状并加以证明.

【解析】△AGD是直角三角形.证明如下:
如图,连结BD,取BD的中点H,连结HF,HE.

∵F是AD的中点,∴HF∥AB,HF=AB,
∴∠1=∠3.同理HE∥CD,HE=CD,
∴∠2=∠EFC.∵AB=CD,∴HF=HE,
∴∠1=∠2.∵∠EFC=60°,∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°,
∴△AGF为等边三角形.∵AF=FD,∴GF=FD,
∴∠FGD=∠FDG=30°,
∴∠AGD=90°,即△AGD是直角三角形.
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