二轮三角函数图象与性质.doc

2015届高三数学二轮复习教学案---专题二：三角函数与平面向量
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第1讲 三角函数图象与性质
【目标引领】
1.对三角函数的图象和性质的考查中，以图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等作为热点内容，并且往往与三角变换公式相互联系，有时也与平面向量，解三角形或不等式内容相互交汇.
2.题型多以填空题来呈现，如果设置解答题一般与三角变换、解三角形、平面向量等知识进行综合考查，题目难度为中、低档．
【主干知识梳理】
1． 三角函数定义、同角关系与诱导公式
(1)定义：设α是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边上任一点P(x，y)，记则sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ 。各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
(2)同角关系：
(3)诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．
2． 三角函数的图象及常用性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象

定义域

值域

对称性
对称中心：
对称轴：
对称中心：
对称轴：
对称中心：
单调性

周期

奇偶性

3． 三角函数的两种常见变换
（1）----------------→----------------→
--------------------→

（2）----------------→----------------→
--------------------→
4、三角函数单调性的求法：

5、三角函数周期性的求法：

6、三角函数值域或最值得求法：

【自学探究】
1、函数的最小正周期为
2、设当时，函数取得最大值，则
3、，则
4、定义在区间上的函数的图象与的图象的交点为P，过点P作轴于点，直线与的图象交于点,则线段的长为
5、若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点与最低点，且·＝0，则A·ω
等于________．
答案　
解析　由题中图象知＝－，
所以T＝π，所以ω＝2.
则M，N
由·＝0，得＝A2，
所以A＝，所以A·ω＝.
【典型问题研究】
考点一、三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系问题
1、若sin＝a，则cos＝________.
答案　－a
解析　cos＝cos
＝－cos
＝－sin
＝－sin＝－a.
2、如图，以Ox为始边作角α(0<α<π)，终边与单位圆相交于点P，
已知点P的坐标为，求的值．
解　由三角函数定义，
得cos α＝－，sin α＝，
∴原式＝＝
＝2cos2α＝2×2＝.
3、(2012·山东)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心
的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上
沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为________．
(2)利用平面向量的坐标定义、解三角形知识以及数形结合思想求解．
设A(2,0)，B(2,1)，由题意知劣弧长为2，∠ABP＝＝2.
设P(x，y)，则x＝2－1×cos＝2－sin 2，
y＝1＋1×sin
＝1－cos 2，
∴的坐标为(2－sin 2,1－cos 2)．

考点二、三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及解析式
1、(2013·四川改编)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)
的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________．
答案　2，－
解析　∵T＝－，T＝π，∴ω＝2，
又2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，∴φ＝2kπ－，
又φ∈，∴φ＝－.
2、将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是

考点三、三角函数的性质
1、(2012·北京)已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域及最小正周期；
(2)求f(x)的单调递增区间．
先化简函数解析式，再求函数的性质．
解　(1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z)，
故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．
因为f(x)＝
＝2cos x(sin x－cos x)
＝sin 2x－cos 2x－1
＝sin－1，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)函数y＝sin x的单调递增区间为
(k∈Z)．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋，x≠kπ(k∈Z)．
所以f(x)的单调递增区间为
和(k∈Z)．
函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用的求解思路
第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式；
第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．
2、已知函数f(x)＝sin x＋cos x，g(x)＝sin x－cos x，有下列四个命题：
①将f(x)的图象向右平移个单位可得到g(x)的图象；
②y＝f(x)g(x)是偶函数；
③f(x)与g(x)均在区间上单调递增；
④y＝的最小正周期为2π.
其中真命题是________．(填序号)
答案　①②③
解析　f(x)＝sin(x＋)，
g(x)＝sin x－cos x＝sin(x－)，显然①正确；
函数y＝f(x)g(x)＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，
其为偶函数，故②正确；
由0≤x＋≤及－≤x－≤0都可得－≤x≤，
所以由图象可判断函数f(x)＝sin(x＋)和函数g(x)＝sin(x－)在[－，]上都为增函数，故③正确；
函数y＝＝＝＝－tan(x＋)，由周期性定义可判断其周期为π，故④不正确．
3、已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.
①求ω的值；
②讨论f(x)在区间上的单调性．
解　①f(x)＝4cos ωx·sin
＝2sin ωx·cos ωx＋2cos2ωx
＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋
＝2sin＋.
因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0.
从而有＝π，故ω＝1.
②由①知，f(x)＝2sin＋.
若0≤x≤，
则≤2x＋≤.
当≤2x＋≤，
即0≤x≤时，f(x)单调递增；
当≤2x＋≤，
即≤x≤时，f(x)单调递减．
综上可知，f(x)在区间上单调递增，
在区间上单调递减．

第1讲、三角函数图象与性质作业
1． 点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为________．
答案　
解析　记α＝∠POQ，由三角函数的定义可知，
Q点的坐标(x，y)满足x＝cos α＝cos ＝－，
y＝sin α＝sin ＝.
2． 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________.
答案　－8
解析　因为sin θ＝＝－，
所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8.
3． 已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α等于________．
答案　－
解析　因为sin α＋cos α＝，
两边平方得1＋2sin αcos α＝，所以sin 2α＝－.
由于sin α＋cos α＝sin＝>0，
且α为第二象限角，
所以2kπ＋<α<2kπ＋，k∈Z，
所以4kπ＋π<2α<4kπ＋，k∈Z，
所以cos 2α＝－＝－＝－.
4． 将函数y＝cos的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位，所得函数的解析式为________．
答案　y＝cos
解析　y＝cos

5． 已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ) (ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为________．
答案　2
解析　由f＝0知是f(x)图象的一个对称中心，又x＝是一条对称轴，所以应有，
解得ω≥2，即ω的最小值为2.
6． (2012·课标全国改编)已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________．
答案　
解析　由<x<π，
ω>0得＋<ωx＋<ωπ＋，
又y＝sin x在上递减，
所以，
解得≤ωπ≤.
7． 函数f(x)＝sin πx＋cos πx＋|sin πx－cos πx|对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x2－x1|的最小值为________．
答案　
解析　依题意得，当sin πx－cos πx≥0，
即sin πx≥cos πx时，f(x)＝2sin πx；
当sin πx－cos πx<0，
即sin πx<cos πx时，f(x)＝2cos πx.
令f(x1)、f(x2)分别是函数f(x)的最小值与最大值，
结合函数y＝f(x)的图象可知，|x2－x1|的最小值是.
8．已知f(x)＝2sin－m在x∈[0，]上有两个不同的零点，则m的取值范围为________．
答案　[1,2)
解析　函数f(x)＝2sin－m在x∈[0，]上有两个不同的零
点，等价于方程m＝2sin在区间[0，]上有两解．
作出如图的图象，由于右端点的坐标是，由图可知，m∈[1,2)．
9．关于函数f(x)＝sin 2x－cos 2x有下列命题：
①y＝f(x)的周期为π；②x＝是y＝f(x)的一条对称轴；③是y＝f(x)的一个对称中心；④将y＝f(x)的图象向左平移个单位，可得到y＝sin 2x的图象，其中正确命题的序号是______(把你认为正确命题的序号都写上)．
答案　①③
解析　由f(x)＝sin 2x－cos 2x＝sin，
得T＝＝π，故①对；
f＝sin ≠±，故②错；
f＝sin 0＝0，故③对；
y＝f(x)的图象向左平移个单位，
得y＝sin＝sin，
故④错．故填①③.
10．已知函数f(x)＝sin 2xsin φ＋cos2xcos φ－·sin(0<φ<π)，其图象过点.
(1)求φ的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在上的最大值和最小值．
解　(1)∵f(x)的图象过点，
∴＝sin sin φ＋cos2cos φ－sin.
化简得sin φ＋cos φ＝1，即sin＝1.
∵0<φ<π，∴<φ＋<.
因此φ＝.
(2)由(1)知f(x)＝sin 2x＋cos2x－
＝sin 2x＋cos 2x＝sin.
将f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得函数y＝g(x)的图象，
∴g(x)＝sin.
∵0≤x≤，∴≤4x＋≤π.
因此当4x＋＝时，g(x)有最大值；
当4x＋＝π时，g(x)有最小值－.
故g(x)的最大值、最小值分别为与－.
11． (2012·湖南)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．

(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数g(x)＝f－f的单调递增区间．
解　(1)由题设图象知，周期T＝2＝π，
所以ω＝＝2.
因为点在函数图象上，
所以Asin＝0，
即sin＝0.
又因为0<φ<，所以<＋φ<.
从而＋φ＝π，即φ＝.
又点(0,1)在函数图象上，所以Asin ＝1，解得A＝2.
故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
(2)g(x)＝2sin－2sin
＝2sin 2x－2sin
＝2sin 2x－2
＝sin 2x－cos 2x＝2sin.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以函数g(x)的单调递增区间是，k∈Z.

扬中市第二高级中学高三数学备课组