课时作业73.doc

课时作业73　绝对值不等式
[授课提示：对应学生用书第287页]

1．(2018·合肥市第二次质量检测)已知函数f(x)＝|x－4|＋|x－a|(a∈R)的最小值为2.
(1)求实数a的值；
(2)解不等式f(x)≤5.
解析：(1)f(x)＝|x－4|＋|x－a|≥|a－4|＝a，从而解得a＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝|x－4|＋|x－2|＝.
结合函数y＝f(x)的图象和，不等式f(x)≤5的解集为.
2．(2018·江苏三校联考)已知函数f(x)＝|x－a|，其中a>1.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；
(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．
解析：(1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|＝

当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，
解得x≤1；
当2<x<4时，f(x)≥4－|x－4|无解；
当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|得2x－6≥4.解得x≥5.
所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}．
(2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，
则h(x)＝
由|h(x)|≤2，解得≤x≤.
又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}．
所以∴a＝3.
3．(2018·云南省第一次检测)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的定义域为实数集R.
(1)当a＝5时，解关于x的不等式f(x)>9；
(2)设关于x的不等式f(x)≤|x－4|的解集为A，B＝{x∈R||2x－1|≤3}，如果A∪B＝A，求实数a的取值范围．
解析：(1)当a＝5时， f(x)＝|x＋5|＋|x－2|.
①当x≥2时，由f(x)>9，得2x＋3>9，解得x>3；
②当－5≤x<2时，由f(x)>9，得7>9，此时不等式无解；
③当x<－5时，由f(x)>9，得－2x－3>9，解得x<－6.
综上所述，当a＝5时，关于x的不等式f(x)>9的解集为{x∈R|x<－6或x>3}．
(2)∵A∪B＝A，∴B⊆A.
又B＝{x||2x－1|≤3}＝{x∈R|－1≤x≤2}，关于x的不等式f(x)≤|x－4|的解集为A，
∴当－1≤x≤2时，f(x)≤|x－4|恒成立．
由f(x)≤|x－4|得|x＋a|≤2.
∴当－1≤x≤2时，|x＋a|≤2恒成立，即－2－x≤a≤2－x恒成立．
∴实数a的取值范围为[－1,0]．
4．(2018·南昌市第一次模拟)已知函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，a∈R.
(1)若不等式f(x)≤2－|x－1|有解，求实数a的取值范围；
(2)当a<2时，函数f(x)的最小值为3，求实数a的值．
解析：(1)由题f(x)≤2－|x－1|，可得＋|x－1|≤1.
而由绝对值的几何意义知＋|x－1|≥，
由不等式f(x)≤2－|x－1|有解，得≤1，即0≤a≤4.
故实数a的取值范围是[0,4]．
(2)函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，当a<2，即<1时，
f(x)＝
所以f(x)min＝f＝－＋1＝3，得a＝－4<2(符合题意)，故a＝－4.
5．(2018·长春二模)已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)如果对任意的x∈R，f(x)≥2恒成立，求实数a的取值范围．
解析：解法一：(1)当a＝2时，f(x)＝|x－1|＋|x－2|.
由f(x)≥3得|x－1|＋|x－2|≥3，
由绝对值的几何意义知不等式的解集为(－∞，0]∪[3，＋∞)．
(2)若a＝1，则f(x)＝2|x－1|，显然不满足题设条件；
若a<1，则f(x)＝，易知f(x)的最小值为1－a；
若a>1，则f(x)＝，易知f(x)的最小值为a－1.
所以对于任意的x∈R，f(x)≥2恒成立的充要条件是|a－1|≥2，解得a≤－1或a≥3，
从而可得实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
解法二：(1)同解法一；
(2)根据绝对值的几何性质可知，f(x)＝|x－1|＋|x－a|表示x轴上的点x到1和a两点的距离之和，
所以f(x)的最小值为|a－1|，
故对任意的x∈R，f(x)≥2恒成立的充要条件是|a－1|≥2，
故实数a的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
[能力挑战]
6．(2017·新课标全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集；
(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．
解析：(1)f(x)＝
当x＜－1时，f(x)≥1无解；
当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2；
当x＞2时，由f(x)≥1，解得x＞2.
所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．
(2)由f(x)≥x2－x＋m，得
m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.
而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－2＋≤，
且当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝，
故m的取值范围为.