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“三心二意”求距离
(河南省临颍县南街村高中 赵先举 462600)
三角形的重心、外心及内心反映了三角形的基本性质,而实际上这“三心”都具有两个不同的含义或性质.
重心——既是三角形三条边的中线的交点又满足到定点距离是到对比中点距离的2倍;
外心——既是三角形三条边中垂线的交点又是三角形外接圆的圆心;
内心——既是三角形三个内角平分线的交点也是三角形的内切圆的圆心.
掌握三角形的这些性质对解立体几何问题有很重要的作用,尤其是求一些与三棱锥有关的距离问题.
例1.边长为正△ABC的所在平面外一点S到三个顶点A、B、C的距离都是6,求点S到平面”ABC的距离.
[解析]:由S作⊥平面ABC于O联结AO,BO,CO,易证
△SAO△SBO△SCO,故AO＝BO＝CO
故O是△ABC的外心(外接圆的圆心).而三角形ABC是正三角形,故O也是三角形ABC的重心.设D是边BC中点,则
故.在直角△SAO中可求得高
.
[评析]:本题根据条件首先说明垂足O是△ABC的外心,再根据正三角形的性质转化为重心来求AO的长度.这实际上是由外心定位置,再由重心定长度,实现了正三角形内部特征的转化.
例2.已知△ABC三边长分别为6,8,10且△ABC所在平面外一点S到三个顶点A、B、C的距离都是6,求点S到平面ABC的距离.
[解析]:由S向平面ABC作垂线,由例1的方法易知,O是△ABC的外心,又根据条件可知,△ABC是直角三角形.故O是△ABC斜边的中点,所以可得S到平面ABC的距离为.
[评析]:本题根据条件先确定垂足的位置是三角形的外心,再根据直角三角形的特点进一步得到垂足在斜边中点上的结论,体现了外心重要应用.而实际上我们可得出一个一般性的结论:若△ABC所在平面外一点P到三角形三个顶点的距离相等,那么由P向平面ABC作垂线的垂足是△ABC的外心.
例3.已知△ABC所在平面外一点S到三角形三边的距离都是6,而△ABC的周长为4,面积为6.求点S到平面ABC的距离.
[解析]:如图,过S作SO⊥平面ABC于O,SD,SE,SF分别垂直于BC,AB,AC.联结OD,OE,OF.则由条件可得.
故OD=OE=OF.故O是△ABC的内心.OD等于内切圆的半径r.
由内心的性质可得:面积
故r＝3.所以,S到平面ABC的距离.
[评析]:三角形的内心是其内切圆的圆心,且三角形的面积可以表示为(其中,r为内切圆半径,c为三角形周长).本题确定垂足的位置为内心是解决本题的关键.其实,一般情况下有这样的结论:若△ABC所在平面外一点P到三角形三边的距离相等,那么由P向平面ABC作垂线的垂足是△ABC的内心.
三角形的“三心”是三角形的性质,反映了三角形边角之间的关系.而利用其“三心”具有的性质确定垂足的位置可以使距离问题得到简化.