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第25讲 圆的认识与圆的位置关系
知识点：
一、圆
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆，固定的端点O叫圆心，线段OA叫半径。
由圆的意义可知：
圆上各点到定点（圆心O）的距离等于定长的点都在圆上。
就是说：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，圆的内部可以看作是到圆。心的距离小于半径的点的集合。
圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆，大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧。由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。
圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆。
能够重合的两个圆叫等圆。
同圆或等圆的半径相等。
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。
二、过三点的圆
过三点的圆的作法：利用中垂线找圆心
定理不在同一直线上的三个点确定一个圆。
经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫外心，这个三角形叫圆的内接三角形。
三、垂直于弦的直径
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧。
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一个条弧。
推理2：圆两条平行弦所夹的弧相等。
四、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。
顶点是圆心的角叫圆心角，从圆心到弦的距离叫弦心距。
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。
推理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
五、圆周角
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。
推理1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推理2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推理3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
由于以上的定理、推理，所添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆周角的辅助线。
六、圆的内接四边形
多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫圆内接多边形，这个圆叫这个多边形的外接圆
定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
七、直线和圆的位置关系
1、直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫圆的割线
直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点。
直线和圆没有公共点时，叫直线和圆相离。
2、若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则：
直线和圆相交d＜r；直线和圆相切d＝r；直线和圆相离d＞r；直线和圆相交d＜r
例如：图6－2中，直线与圆O相割，有：r＞d
图6－3中，直线与圆O相切，r＝d
图6－4中，直线与圆O相离，r＜d
八、切线的判定和性质
切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（1.连半径，证垂直；2.作垂直，证半径）
切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径（遇切线，连半径）
推理1：经过圆心且垂直干切线的直线必经过切点。
推理2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
例如图6－5中，O为圆心，AC是切线，D为切点。
∠B＝90°， 则有BC是切线， OD是半径， OD⊥AC
九、三角形的内切圆
要求会作图，使它和己知三角形的各边都相切
∵分角线上的点到角的两边距离相等。
∴两条分角线的交点就是圆心。
这样作出的圆是三角形的内切圆，其圆心叫内心，三角形叫圆的外切三角形。
和多边形各边都相切的圆叫多边形的内切圆，多边形叫圆的外切多边形。
十、切线长定理
经过圆外一点可作圆的两条切线。在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫这点到圆的切线长。
切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角，如图6－6
B、C为切点，O为圆心。
AB＝AC，∠1＝∠2
十一、弦切角
顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角。
弦切角定理弦切角等于它所央的弧对的圆周角。
推理如果两个弦切角所央的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
例如图6－7，AB为切线，
则有：∠C＝∠BAE，∠BAE＝∠D
∴∠C＝∠D
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
推理：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
推理：从圆外一点引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等，如图6－8，若F为切点
则有：AF2=AH·AC，AG·AB＝AF2
EM·MD=BM·MG
CN·NH=DN·NE
十三、圆和圆的位置关系如图6－9
若连心线长为d，两圆的半径分别为R，r，则：
1、两圆外离d ＞R＋r；
2、两圆外切d = R＋r；
3、两圆相交R－r＜d＜R＋r（R＞r）
4、两圆内切d = R－r；（R＞r）
5、两圆内含d＜R－r。（R＞r）
定理相交两圆的连心线垂直平分丙两圆的公共弦。
如图6－10，O1，O2为圆心，
则有：AB⊥O1O2，且AB被O1O2平分
十四、两圆的公切线
和两个圆都相切的直线叫两圆的公切线，两圆在公切线同旁时，叫外公切线，在公切线两旁时，叫内公切线，公切线上两个切点的距离叫公切线的长。
如图6－11，若 A、B、C、D为切点，则AB为内公切线长，CD为外公切线长
内外公切线中的重要直角三角形，如图6－12，OO1A为直角三角形。
d2=（R－r）2＋e2为外公切线长，
又如图 6－13， OO1C为直角三角形。
d2＝（R十r）2＋ e’2为内公切线长。
十五、正多边形和圆
各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。
定理：把圆分成n（n＞3）等分：
（l）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形；
（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。
定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。
正多边形的外接（或内切）圆的圆心叫正多边形的中心。外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距。
正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，叫正多边形的中心角。
正n边形的每个中心角等于
正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。
若n为偶数，则正n边形又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。
边数相同的正多边形相似，所以周长的比等于边长的比，面积的比等于边长平方的比。
十六、正多边形的有关计算
正n边形的每个内角都等于
定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的计算。
十七、圆周长、弧长
1、圆周长C＝2πR；2、弧长
十八、圆扇形，弓形的面积
l、圆面积：；
2、扇形面积：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。
在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形面积S扇形的计算公式为：
注意：因为扇形的弧长。所以扇形的面积公式又可写为
（3）弓形的面积
由弦及其所对的弧组成的圆形叫做弓形。
弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上求得。如果弓形的弧是劣弧，则弓形面积等于扇形面积减去三角形面积。若弓形的弧是优弧，则弓形面积等于扇形面积加上三角形面积。
十九、圆柱和圆锥的侧面展开图
1、圆柱的侧面展开图
圆柱可以看作是由一个矩形旋转得到的，如把矩形ABCD绕边AB旋转一周得到的图形是一个圆柱。（图6一16）
AB叫圆柱的轴，圆柱侧面上平行轴的线段CD， C’D’，…都叫圆柱的母线。
圆柱的母线长都相等，等于圆柱的高。
圆柱的两个底面是平行的。
圆柱的侧面展开图是一个长方形，如图6－17，其中AB=高，AC=底面圆周长。
∴S侧面=2πRh
圆柱的轴截面是长方形一边长为h，一边长为2R
R是圆柱底半径，h是圆柱的高。见图6－8
（2）圆锥的侧面展开图
圆锥可以看作由一个直角三角形旋转得到。
如图6－19，把Rt△OAS绕直线SO旋转一周得到的图形就是圆锥。
旋转轴SO叫圆锥的轴，连通过底面圆的圆心，且垂直底面。
连结圆锥顶点和底面圆的任意一点的SA、SA’、…都叫圆锥的母线，母线长都相等。
圆锥的侧面展开图如图6一19是一个扇形SAB
半径是母线长，AB是2πR。（底面的周长），所以圆锥侧面积为S侧面=πRL
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