资源描述
5.3.3简单的轴对称图形教案
教学目标
1.掌握作已知角的平分线的尺规作图方法.
2. 利用逻辑推理的方法证明角平分线的性质，并能够利用其解决相应的问题．
教学重点与难点
重点：角平分线性质.
难点：角平分线性质的探索过程.
教法与学法指导：可让学生通过动手折纸、猜测、判断，经历实践→猜想→证明→归纳的过程，加深对简单轴对称图形的理解，符合学生的认知规律，尤其是对于结论的验证，信息技术在此体现其不可替代性，从而把学生的直观体验上升到理性思维．
教学准备：多媒体课件 自制纸三角形
教学过程
一、巧设情景，引入新课
师:上节课我们探讨了轴对称图形，知道现实生活中由于有轴对称图形，而显得异常美丽.那什么样的图形是轴对称图形呢？
生:如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
师：角是不是轴对称图形呢？如果是，它的对称轴在哪里？
生：学生通过思考应该大部分都能明白角是轴对称图形这个结论.
师：不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角.你有什么办法？
生：动手操作并得出答案：先对折，再打开纸片 ，折痕就是这个角的平分线.
(教师要引导学生思考：我们现在观察到的只是角的一部分.注意角的概念.)
师：通过操作你有什么发现？
生：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
（教师与学生一起动手操作，展示学生作品. 学生通过思考应该大部分都能明白角是轴对称图形这个结论.
设计意图：通过折纸及作图过程，体验角平分线的简易作法，并为角平分线的性质定理的引出做铺垫，为下一步设置问题墙.
二、动手操作，探求新知
探索活动
在准备好的三角形的每个顶点上标好字母A、B、O.把角O对折，使得这个角的两边重合.
在折痕（即平分线）上任意找一点C.
过点C折OA边的垂线，得到新的折痕CD，其中，点D是折痕与OA的交点，即垂足.
将纸打开，新的折痕与OB边交点为E.
生：按要求完成操作过程.
师：很好，在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段？说明你的理由.
生：我发现了：CD与CE是相等的.
师：为什么呢？
生：因为折痕CD与CE互相重合.
师：能不能借助于我们学过的知识来说明呢？
生：可以利用三角形全等.
解：∵ CD⊥OA，CE⊥OB（已知）
∴∠CDO=∠CEO=90°（垂直的定义）
在△CDO和△CEO中
∠ CDO= ∠ CEO
∠ AOC= ∠ BOC
OC=OC
∴ △CDO≌ △CEO（AAS）
∴ CD=CE（全等三角形的对应边相等）
师：很好，在上述操作过程中，如果在折痕即角平分线上另取一点呢？由此你会得出什么结论呢？
生：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
注意：三个条件，必须写完全，不能少了任何一个
师：同学们总结得很好，这就是角平分线除平分角外的另一个主要性质.在这里需要注意的是：①一个点在角的平分线上；②角平分线上的点到角的两边的距离是相等.
用符号语言表示为：
∵ OC平分∠ AOB，
CD ⊥OA ，CE ⊥OB
∴CD=CE
(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)
师：应用角平分线性质需具备什么条件？
生：（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
师：角平分线性质可以帮助我们解决什么问题？
生：说明线段相等.
师：下面我们来看它们的应用.
练一练：
基础题
1、BD是角平分线，DE⊥AB，
垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？
2、已知△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠ CAB,且BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
提高题
3、 在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥CB于点E，BC=10cm，求△DEC的周长.
设计意图：通过学生对角的平分线的知识进行巩固练习，自我评价学习效果，及时发现问题、解决知识盲点，关注不同层次的对角学生的平分线的性质的理解程度，对练习中的问题进行针对性的分析、讲解，培养学生的创新精神和实践能力.
三、再设情景，探究新知
问题1：
有一个简易平分角的仪器（如图），其中AB=AD,BC=DC,将A点放角的顶点，AB和AD沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平分线，为什么？
(教师课件展示实验过程，学生将实物图抽象出数学图形.
学生独立运用三角形全等的方法证明AE是∠BAD的平分线.)
证明：
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
师：根据角平分仪的制作原理怎样用尺规作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）
生：思考，交流，实践尝试.
设计意图：培养学生从简易角平分仪中抽象出两个三角形从而明白将一个角平分的另一种方法.由于在5.3.1时遇到过这此类题，所以学生理解起来较容易.将实际问题转化为数学问题，培养学生的抽象思维能力和运用三角形全等的知识解决问题的能力，让学生体验成功.
问题2：
(1)从上面的探究中，可以得出作已知角的平分线的方法.已知什么？求作什么？
(2)把简易平分角的仪器放在角的两边.且平分角的仪器两边相等,从几何角度怎么画?
(3) 简易平分角的仪器BC=DC,从几何角度如何画?吗?
(5)你能说明OC是∠AOB的平分线吗?
(6)归纳角平分线的作法
（教师提问,学生与老师一起完成探究过程.
学生独立说明,学生相互讨论,交流,归纳后教师归纳展示作法.）
练一练：任意做一个角，再将它四等分.
设计意图：从实验中抽象出几何模型,明确几何作图的基本思路和方法.培养学生运用直尺和圆规作已知角的平分线的能力.让学生体验成功.
四、自我反思，纳入系统
小结：我们这节课学习了那些知识？
生：（1） 角是_______ 图形它的对称轴是_______.
（2） 角平分线上的点到这个角的两边的_____ 相等.
（3）角平分线性质可以帮助我们证明线段相等.
(4)利用尺规平分一个角.
设计意图：让学生畅所欲言，从不同角度谈论本节课的收获通过小结归纳，完善学生对知识的梳理加深对本节知识的掌握.
五、达标检测，能力反馈
基础题
1．下列几何图形中：（1）平行四边形；（2）线段；（3） 角；（4）圆；（5）正方形；（6）任意三角形．其中一定是轴对称图形的是（ ）.
2、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,
垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=__________cm.
3.利用尺规作三角形的三个内角平分线并在其内部找到一点使它到三边的距离都相等.
提高题：（选做）
4、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，AB=10cm，求△DBE的周长.
5、如图两条公路交于O点，公路两边有两个仓库AB，现在公路建一供应站P，使P点到公路距离相等，且到两仓库的距离也相等，则P点应建在何处？
设计意图：巩固本节课的知识点，检验学生的掌握程度．要及时反馈，关注学生易错点，及时进行强调巩固．
板书设计
5.3.3简单的轴对称图形
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
练一练
学生板演区
尺规作图：
六、布置作业，落实目标
必做题：习题5.5 第2、3题．
选做题：5.3巩固训练2
设计意图：作业应该体现出课堂学习的延续性作业的分层，可以让不同程度的学生都能有不同的收获．
教学反思
本课题设计思路按操作、猜想、验证的学习过程，遵循学生的认知规律，体现了数学学习的必然性．教学始终围绕着问题而展开，先从出示问题开始，鼓励学生思考、探索问题中所包含的数学知识，而后设计了第一个学生活动——折纸，让学生体验角的轴对称性，为角平分线性质做好铺垫。紧接着引出简易角平分仪推出了第二个学生活动——尺规作图，以达到复习全等和再次验证猜想的目的，猜想是否正确?还得进行证明，从而激发了学生学习数学的欲望和兴趣，使教学目标顺利达成．整堂课都以学生操作、探究、合作贯穿始终，在教学过程中给学生的思考留下足够的时间和空间，由学生自己去发现结论，学生在经历“将现实问题转化成数学问题”的过程中，对角平分线性质有了更深刻的认识，培养了学生动手、合作、概括能力，同时也提高了思维水平和应用数学知识解决实际问题的意识．
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