资源描述
3.4二元一次方程组的应用
第1课时 简单实际问题和行程问题
【教学目标】
1．让学生学会分析题中已知量与未知量的关系，列出相应的二元一次方程组．
2．使学生通过列方程组解决实际问题，提高学习数学的趣味性、现实性、科学性．
【重难点】
重点：根据题中的各个量的关系，准确列出方程组；
难点：借助列表，数与数之间的关系，分析出问题中所蕴涵的数量关系
【知识要点】
知识点一：列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.
知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系
行程问题：
(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程； ；；
(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。
(3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；
②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；
③顺水速度－逆水速度＝2×水速。
注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。
例1．甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？
思路点拨：画直线型示意图理解题意：
(1)这里有两个未知数：①汽车的行程；②拖拉机的行程.
(2)有两个等量关系：
①相向而行：汽车行驶小时的路程＋拖拉机行驶小时的路程＝160千米;
②同向而行：汽车行驶小时的路程＝拖拉机行驶小时的路程.
解：设汽车的速度为每小时行千米，拖拉机的速度为每小时千米.
根据题意，列方程组 解这个方程组，得:
.
答：汽车行驶了165千米，拖拉机行驶了85千米.
总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略。
【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？
【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。
例2．今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，求现在父亲和儿子的年龄各是多少？
思路点拨：解本题的关键是理解“6年后”这几个字的含义，即6年后父子俩都长了6岁。今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，根据这两个相等关系列方程。
解：设现在父亲x岁，儿子y岁，根据题意得：
，
答：父亲现在30岁，儿子6岁。
总结升华：解决年龄问题，要注意一点：一个人的年龄变化（增大、减小）了，其他人也一样增大或减小，并且增大（或减小）的岁数是相同的（相同的时间内）。
【变式】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄.
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