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6.1.2 平面直角坐标系(1)教案
学 校
主备人
时 间
设 计
理 念
“平面直角坐标系”是第六章的核心。是数轴的发展，它的建立，使代数的基本元素（数对）与几何的基本元素（点）之间产生一一对应，实现了认识上从一维空间到二维空间的发展，构成更广阔的范围内的数形结合.因此，平面直角坐标系是沟通代数与几何的桥梁，是非常重要的数学工具。同时,直角坐标系的基本知识是学习全章以及以后数学学习的基础，在后面学习如何画函数图象以及研究一些具体函数图象的性质时，都要应用这些知识。
教
学
目
标
知识与技能:
1．理解平面直角坐标系，以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念．
2．认识并能画出平面直角坐标系；能在给定的坐标系中，由点的位置写出它的坐标．
过程与方法:
通过建立平面直角坐标系的过程，发展学生的形象思维，数形结合的意识，学会与他人交流合作．
情感态度与价值观:
经历平面直角坐标系建立的过程，初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，体验数学活动充满着探索和创造．
重 点
1．理解平面直角坐标系的有关概念．
2．在给定的直角坐标系中，会根据点的位置写出此点的坐标，特别是特殊位置的点的坐标．
难 点
根据点的位置写出点的坐标．
方 法
体验、探究式教学法
课 型
新授课
教 学 过 程
教学环节
教 学 内 容
师 生 活 动
设 计 意 图
一、创
设
情
境
数学故事：
一天，数学家笛卡儿躺在病塌上，仰望着天花板出神，只见蜘蛛正忙着在墙角落结网，它一会儿在雪白的天花板上爬来爬去，一会儿又顺着蛛丝爬上爬下．这精彩的“杂技”牢牢地把笛卡儿吸引住了．这一有趣的现象使笛卡儿受到启发，他马上联想到了那个他朝思暮想至今仍悬而未决的难题．他想：这只悬在半空中的蜘蛛不正是一个移动的点吗？能不能用两面墙的交线及墙与天花板的交线来确定它的空间位置呢？他在纸上画了三条两两垂直的直线，分别表示两墙的交线和墙与天花板的交线，并在空间点出一个P点代表蜘蛛，P到两墙的距离分别用x和y表示，到天花板的距离用z表示．这样x、y、z就有了准确的数值，P点的位置就完全确定了．于是直角坐标系诞生了，尽管笛卡儿由对墙面、天花板和玩杂技般的蜘蛛的观赏转到了对点、线、面的抽象思索，但他仍饶有兴趣，思维异常活跃，因为在数学家眼里，枯燥的点、线比活蹦乱跳的小鸟还逗人喜爱．他的这一伟大发现开辟了用代数方法研究几何图形的先河．
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有序数对可以表示平面内点的位置，图3中表示平面内A、B、C、D四个点的位置也可用有序数对来表示．一条数轴上点的位置可以用一个数来表示．平面内一个点的位置可用有序数对来表示，因此需用两条数轴．
启发学生，在地图上我们要确定一个地点的位置，需要借助两个数据，进而抽象成数轴，而平面内,两条互相垂直的且有公共原点的数轴，就如同地图上的经线和纬线，可以帮助我们确定平面内任何一个点的位置.引入新课.
二、自
主
探
究
活动1．问题：图1是一条数轴．
（1）请指出点A和点B分别表示哪一个数？
（2）已知数-1，5，请用数轴上的点C和点D表示这两个数．
在活动与探究中认识平面直角坐标系及相关概念
活动2．思考：类似于利用数轴确定直线上点的位置，能不能找到一种方法来确定平面内点的位置呢（如图2中A、B、C、D各点）？
师生行为：学生参与活动，小组讨论、交流问题并发表见解；教师在学生回答的基础上，进一步引导学生回忆发现数学问题．在数轴上，确定一个点，这个点所表示的数就确定了；反过来，已知一个数，在数轴上总有一个确定的点和它相对应，即表示这个数的点在数轴上的位置也就确定了．由此可知，数轴上的点可以用一个数来表示，这个数叫做这个点的坐标．如图1，点A在数轴上的坐标为-4，点B在数轴上的坐标为2．反过来-1是点C的坐标，5是点D的坐标．
本次活动中，教师应重点关注：
（1）学生能否发现一个数与数轴上的点的对应关系；
（2）学生在活动中发表个人见解的勇气；
（3）学生能否很顺利地理解数轴上点的坐标的定义．
上一节，学生已体验到有序数对可以确定平面内点的位置，在我们的实际生活中这样的例子有很多，但我们是在某种约定的情况下，明白了有序数对所对应的位置．
教师要引导学生在一个数与数轴上的点的对应关系，去发现利用有序数对确定平面内点的位置．
本次活动中，教师应重点关注：
（1）学生在上一节课的基础上，意识到建立平面直角坐标系的意义所在；
（2）学生用数学语言表述自己的观点的能力；
（3）学生的合情推理能力；
（4）学生在小组活动中的合作交流意识．
由学生熟悉的数轴出发，给出数轴上点的坐标的定义，建立点与坐标的对应关系，从而得到确定直线上点的位置的方法．平面直角坐标系的构成是两条互相垂直、原点重合的数轴，坐标平面内点的坐标是根据数轴上的点的坐标定义的，平面内点的坐标的对应关系相似于数轴上点与坐标的对应关系．本节从数轴引入，使学生顺利地实现由一维到二维的过渡．
设置“思考”栏目，激发学生思维的火花，使学生通过类比，利用数轴上点的位置的确定方法来确定平面内点的位置，从而引出本小节的课题──平面直角坐标第．
三、尝
试
应
用
我们如何来确定平面内A、B、C、D的位置．如图3．
我们可以在平面内画两条互相垂直的数轴，且使它们原点重合，就组成了平面直角坐标系．水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右的方向为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上的方向为正方向；两坐标轴的交点为直角坐标系的原点．
有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示了．例如由点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足M在x轴上的坐标是3，垂足N在y轴上的坐标为4，我们说点A的横坐标为3，纵坐标为4，有序数对（3，4）就叫做点A的坐标，记作A（3，4）．
类似地，请写出点B、C、D的坐标．
通过小组活动，调动学生学习数学的积极性，并使学生在活动中获得成就感，在小组合作中学会尊重理解他人．同时也希望扩大学生自主学习的空间．
四、 感
悟
深
化
活动3．思考：（1）原点O的坐标是什么？x轴与y轴上的点的坐标有什么特点？
（2）在图4中，确定A、B、C、D、E、F、G的坐标．
（3）写出图5中的多边形ABCDEF各个顶点的坐标．
师：当坐标轴的位置发生变动时，各点的坐标变不变？
师：你还能建立不同的坐标系，确定各点的坐标吗？请在小组内交流．
学生分组讨论、交流；教师深入小组参与活动倾听学生交流．
本次活动中，教师应关注：
（1）学生是否明确平面直角坐标系的概念；
（2）学生是否能很清晰地确定一个点的坐标；
（3）学生能否理解由于平面直角坐标系建立的不同，点的坐标也不同；
（4）学生运用数学语言描述问题及运用数学思想方法解决实际问题的能力．
生：各点的坐标也发生变化．例如在图6中，BC所在的直线为x轴，纵轴（y轴）位置不变，则六个顶点的坐标为A（-2，3），B（0，0），C（3，0），D（4，3），E（3，6），F（0，6）．
通过思考特殊位置上的点的坐标的特点及练习已知点的位置写出点的坐标．突出本节的重点和难点．
通过小组活动，调动学生学习数学的积极性，并使学生在活动中获得成就感，在小组合作中学会尊重理解他人．同时也希望扩大学生自主学习的空间．
五、巩
固
提
高
活动4．练习：1．写出图7中A、B、C、D、E、F的坐标．
参考练习
1．如图8（1），某地为了发展城市群，在现有的四个中小城市A，B，C，D附近新建机场E．试建立适当的直角坐标系，写出各点的坐标．
2．如图9（1），四边形ACEG和四边形BDFH都是正方形，BF的长为8．建立适当的直角坐标系，写出点A，B，C，D，E，F，G，H的坐标．
学生分组讨论、交流；教师到小组去参与活动倾听学生的交流，特别是特殊位置的点的坐标的特点．
本次活动中，教师要关注：
（1）学生学习经验的积累；
（2）学生能否主动与同学合作，交流各自的想法；
（3）学生运用数学语言描述问题．
根据点的位置写出点的坐标是本节课的重点．此练习各个点分布在不同的位置，希望通过此练习扩大学生自主学习的空间．
六、体
验
收
获
谈谈你的收获和体会
1．理解平面直角坐标系，以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念；
2．能建立平面直角坐标系，并由点位置确定点的坐标．
学生归纳总结，教师补充升华.
培养学生概括的能力，使知识形成体系.
七、实
践
延
伸
必做题：习题6．1 第 2、3题．
选做题：活动与探究
已知点M（3，-2）与点M′（x，y）在同一平行于x轴的直线上，用M′到y轴的距离等于4，那么点M′的坐标为（ ）
A．（4，2）或（-4，2） B．（4，-2）或（-4，-2）
C．（4，-2）或（-5，-2） D．（4，-2）或（-1，-2）
[过程]画出平面直角坐标系，观察不难发现结论、特点，注意点到x轴、y轴的距离与点的横、纵坐标的联系与区别．
[结果]点M（3，-2）与点M′（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，所以M′的纵坐标y=-2．又因为M′到y轴的距离为4，所以x=4或-4．所以应选B．
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