九年级数学上册24.4中位线教案华东师大版.doc

24.4中位线
教学目标：
１、经历三角形中位线的性质定理和梯形中位线的性质定理形成过程，掌握两个定理，并能利用它们解决简单的问题。
２、通过命题的教学了解常用的辅助线的作法,并能灵活运用它们解题。
３、进一步训练说理的能力。
４、通过学习，进一步培养自主探究和合作交流的学习习惯；进一步了解特殊与一般的辩证唯物主义观点；转化的思想。
教学重点：
经历三角形中位线的性质定理和梯形中位线的性质定理形成过程，掌握两个定理，并能利用它们解决简单的问题。
教学难点：
进一步训练说理的能力。
教学过程：
一、三角形的中位线
（一）问题导入
在§24．3中，我们曾解决过如下的问题：　
如图24．4．1，△ABC中，DE∥BC，则△ADE∽△ABC。
由此可以进一步推知，当点D是AB的中点时，点E也是AC的中点。
现在换一个角度考虑，

如果点D、E原来就是AB与AC的中点，那么是否可以推出DE∥BC呢？DE与BC之间存在什么样的数量关系呢？
（二）探究过程

1、猜想
从画出的图形看，可以猜想：　DE∥BC，且DE＝BC．

2、证明：如图24．4．2，△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，
∴　．
∵　∠A＝∠A，
∴　△ADE∽△ABC（如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似），
∴　∠ADE＝∠ABC，（相似三角形的对应角相等，对应边成比例），
∴　DE∥BC且
思考：本题还有其它的解法吗？
已知： 如图所示，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC。
求证： DE∥BC，DE＝BC。
分析:　要证DE∥BC，DE ＝BC，可延长DE到F，使EF＝DE，于是本题就转化为证明DF＝BC，DE∥BC，
故只要证明四边形BCFD为平行四边形。
还可以作如下的辅助线作法。

3、概括
我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有
三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。
介绍三角形的中位线时，强调指出它与三角形中线的区别。
（三）应用
例1 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。

已知：　如图24．4．3所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC。
求证：　AE、DF互相平分。
证明 连结DE、EF．因为AD＝DB，BE＝EC
所以DE∥AC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）
同理EF∥AB
所以四边形ADEF是平行四边形
因此AE、DF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）

例2 如图24．4．4，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于G。
求证：　

证明 连结ED
∵　D、E分别是边BC、AB的中点
∴　DE∥AC，（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）
∴　△ACG∽△DEG
∴　
∴　

小结：
如果在图24．4．4中，取AC的中点F，假设BF与AD交于G′，如图24.4.5，那么我们同理有，所以有，即两图中的点G与G′是重合的。
于是，我们有以下结论：　
三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的。
［同步训练］　如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点．求证：四边形ADEF是菱形。

二、梯形的中位线
由三角形的中位线的有关结论，我们还可以得到
梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半．
已知：　如图24．4．6所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE＝BE，DF＝CF．
求证：　EF∥BC，EF＝（AD＋BC）．

分析 由于本题结论与三角形中位线的有关结论比较接近，可以连结AF，并延长AF交BC的延长线于G，证明的关键在于说明EF为△ABG的中位线。于是本题就转化为证明AF＝GF，AD＝CG，故只要证明△ADF≌△GCF．
证明略

思考

如图24．4．7，你可能记得梯形的面积公式为
．
其中、分别为梯形的两底边的长，h为梯形的高．现在有了梯形中位线，这一公式可以怎样简化呢？它的几何意义是什么？
三、 小结与作业
小结：谈一下你有哪些收获？
作业：Ｐ70 练习 习题24.4

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