资源描述
（教师用）
1.5.1 有理数的乘方
（新授课）
【理论支持】
布鲁姆认为：“认知的前提特征在学习中起50﹪的作用．它是学习者的能力倾向，认知结构的总称”．所以在教学有理数的乘方之前，先行安排学生课前预习，为课堂学习做好知识储备．
维果茨基认为教育应当定于儿童现有心智发展状态的“最近发展区”，因此在备本节课时教者考虑到学生的知识基础，有效地突出重点，化解难点，让学生通过独立思考，合作探究等过程最终摘取新知的果实．
本节课通过某种细胞分裂和正方形面积、正方体体积的表示，引出相同因数相乘的计算问题，使学生对乘方的意义有较直观的了解，同时也可以使学生认识到乘方运算存在于生活实际中．通过小组讨论、合作探究，以及一定量的练习，使学生能充分发挥他们的主管能动性，熟练掌握相同因数相乘的简单表示法及乘方的表示，并计算出结果．教者要结合教材上的图示讲清楚乘方是一种运算，幂是乘方的结果，以及底数和指数的区别．
通过本节课的研究，旨在让学生体会到数学与实际生活的密切联系，经历知识的形成过程，培养学生的应用意识．教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能．数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验，体验到转化的思想．
【教学目标】
知识技能
1．让学生理解并掌握有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及意义．
2．能够正确进行有理数的乘方运算．
数学思考
1．在生动的情境中让学生获得有理数乘方的初步经验．
2．培养学生观察、分析、归纳、概括的能力；经历从乘法到乘方的推广的过程，从中感受化归的数学思想．
解决问题
1．通过经历探索有理数乘方意义的过程，鼓励学生积极主动发现问题并解决问题．
2．在解决问题的过程中，提高学生分析问题的能力,体会与他人合作交流的重要性．
情感态度
1．让学生在经历发现问题，探索规律的过程中体会到数学学习的乐趣，从而培养学生学习数学的主动性和勇于探索的精神，增进学生学好数学的自信心．
【教学重难点】
1． 重点：（1）理解有理数乘方的意义．
（2）会进行乘方运算．
2． 难点：掌握有理数乘方运算的符号法则．
【课时安排】
一课时
【教学设计】
课前延伸
一、 基础知识填空及答案
1． 把下列各式写成乘方运算的形式
（1）6×6×6
（2）2.1×2.1
（3）（-3）×（-3）×（-3）×（-3）
（4）××××
〖答案〗（1）63 （2）2.12 （3）（-3）4 （4）（）5
2．把下列各式写成乘法运算的形式
（1）34 （2）43 （3）（-1）2 （4）1.13
〖答案〗（1）81 （2）64 （3）1 （4）1.331
〖设计说明〗通过这一题组让学生初步了解相同因数相乘的简单表示法，为进一步理解乘方、幂、底数、指数的概念及意义积累感性经验．同时让学生经历负数及分数的乘方表示，让学生在比较中感受将底数添加括号的适用情形．
二、预习思考题及答案
1．3的平方是多少？-3的平方是多少？平方得9的数有几个？有无平方得-9的有理数？
2．计算
（1）（-3）4 （2）（-）3
〖答案〗1．3的平方是9；-3的平方是9；平方得9的数有两个；没有平方得-9的有理数．
2．（1）81 （2）-
〖设计说明〗〗通过这一题组让学生进一步理解乘方的意义，同时培养学生的逆向思维能力，为日后理解平方根的意义作铺垫．
课内探究
一、 导入新课：
1、创设情境，引出乘方等概念
（多媒体演示细胞分裂过程）某种细胞，每过30分钟便由1个分裂成2个，经过5小时，这种细胞由1个分裂成多少个？【引导学生回顾正方形的面积和正方体的体积表示法】
10个2
1个细胞30分钟分裂成2个，1个小时后分裂成2×2个，1．5小时后分裂成2×2×2个，…，5小时后要分裂10次，分裂成2×2×2×…×2=1024
10个2
为了简便可将2×2×2×…×2记作210．
2、概念形成
一般地，n个相同的因数a相乘，即a·a·…·a，记作an，读作a的n次方．
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在an中，a叫做底数，n叫做指数，当an看作a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂．
幂
指数（因数的个数）
（因数）底数
揭示课题，整理概念，板书
说明：（1）举例94说明概念及读法；
（2）一个数可以看作这个数本身的一次方，通常省略指数1不写；
（3）因为an就是n个a相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算；
（4）乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果．
3、概念巩固
(1)在49中,底数是 ，指数是 ，读作 ,或读作 ；
(2)在(-2)3中，底数是 ，指数是 ，读作 ,或读作 ；
(3)在中，底数是 ，指数是 ，读作 ,或读作 ；
(4)整数6可以看作底数是 指数是 的幂；
(5)计算
①(-4)3 = ②(-2)4 = ③= ④ (-2)2 = ⑤(-2)5 =
⑥ 23 = ，32 = ，24 = ；⑦ 02 = ，03 = ，04 = .
〖设计说明〗通过某种细胞分裂的个数表示，引出相同因数相乘的表示和计算问题，使学生对乘方的意义有较直观的了解，同时也可以使学生认识到乘方运算存在于生活实际中．
二、探索新知
（1）有理数乘方的符号规律
思考：从以上练习中，你发现有理数的幂的符号有什么规律？
负数的奇次幂是___数，负数的偶次幂是___数．
正数的任何次幂都是___数，0的任何正整数次幂都是___.
抢答：快速确定下列幂的符号．
0.13
学生交流讨论：（1）和的意义是否相同？运算结果是否相等？（2）如果底数是带分数，应如何进行乘方？
〖设计说明〗通过让学生经历计算、观察、归纳、小结、应用的探究过程，从而掌握幂的符号规律．
（2）有理数的混合运算
问题：在2+32×（-6）这个式子中，存在着哪几种运算？你们认为在做有理数的混合运算时，应注意哪些运算顺序？请分4人小组讨论．
小组讨论后，请小组代表汇报、交流讨论结果，其他同学补充，教师在学生回答的基础上做适当的总结与补充：
1．先算乘方，再算乘除，最后算加减；
2．同级运算，从左到右进行；
3．如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
〖设计说明〗学生通过小组合作交流进一步明晰混合运算的顺序．
例1 计算
（1）2×（-3）3-4×（-3）+15
（2）（-2）3+（-3）×【（-4）2+2】-（-3）2÷（-2）
〖点拨方法〗按有理数混合运算的顺序进行运算，在每一步运算中，仍然是要先确定结果的符号，再确定结果的绝对值．
〖参考答案〗（1）-27 （2）-57.5
例2 观察下面三行数：
－2，4，－8，16，－32，64，…；①
0，6，－6，18，－30，66，…；②
－1，2，－4， 8，－16，32，…．③
（1）第①行数按什么规律排列？
（2）第②③行数与第①行数分别有什么关系？
（3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和．
〖点拨方法〗联系数的乘方，从符号与绝对值两方面考虑①的排列规律．
〖参考答案〗（1）第①行数是-2，（-2）2，（-2）3（-2）4，…；
（2）对比①②两行中位置对应的数，可以发现：第②行数是第①行相应的数加2，即-2+2，（-2）2+2，（-2）3+2，（-2）4+2，…；
对比①③两行中位置对应的数，可以发现：第③行数是第①行相应数的0.5倍，即-2×0.5，（-2）2×0.5，（-2）3×0.5，（-2）4×0.5，…；
(3)每行数中的第10个数的和是
（-2）10+【（-2）10+2】+（-2）10×0.5
例3 已知a=-，b=4，求（）2--（ab）3+a3b的值．
〖点拨方法〗进行乘方运算时，认清底数是多少，例如（）2的底数就是（），而底数是b．
〖参考答案〗
〖设计说明〗例1着重强化训练学生的计算能力，例2培养学生的观察、猜想的能力，培养学生的数感，例3强化学生计算能力的同时，让学生对易错知识点进行辨析．
三、教师精讲点拨：
1．知识点辨析：
乘方的含义：①表示一种运算；②表示运算的结果．乘方的读法：①当an表示运算时，读作a的n次方；②当an表示运算结果时，读作a的n次幂．
乘方的符号法则：①正数的任何次幂都是正数；②零的任何正整数次幂都是零；③负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数．
2．规律总结：注意（－a）n与－an及（）n与的底数的确定就看相同的因数．
四、课堂反馈训练：
1．填空
（1）在（－2）6中，指数为 ，底数为 ．
（2）在－26中，指数为 ，底数为 ．
（3）若a2=16，则a= ．
（4）平方等于本身的数为 ，立方等于本身的数为 ．
〖参考答案〗（1）6，-2 （2）6，2 （3）4或-4 （4）0或1；0，1，-1
〖讲评策略〗相同的因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数．
2．计算：
（1）（－2）3+3×（－1）2－（－1）4；
（2）[2；
〖参考答案〗（1）-6；（2）-8
〖讲评策略〗一要掌握运算顺序，二要掌握运算法则．
3．已知A=a+a2+a3+…+a2004，若a=1，则A等于多少？若a等于－1，则A等于多少？
〖参考答案〗若a=1，则A等于2004；若a等于－1，则A等于0．
〖讲评策略〗-1的奇次幂都等于-1，-1的偶次幂都等于1，1的任何次幂都等于1．
〖设计说明〗当堂训练，当堂反馈的这一环节的实施不但使学生对所学的新知识得到及时巩固和提升，同时又使得还存在模糊认识的学生得到进一步澄清，这就让学生在学习新知识的第一时间得到最清晰的认识，这正是高效的价值所在．
课后提升
一、课后练习题及答案：
1、计算：（1）15，（2）120，（3）(-1)2009,（4）(-1)100，（5）(-1)7,（6）(-1)2010
通过完成第1题，你有什么发现？
2、计算：（1）102=______ （2）103=______ （3）104=______
（4）(-10)2=______ （5）(-10)3=______ （6）(-10)4=______
通过完成第2题，你又有什么发现？
3、若a为有理数，则a2是什么数？
4、想一想：与有什么异同？
5、计算－+（－1）101－×（0．5－）÷；
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