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4 分式方程
第1课时 分式方程的概念及列分式方程
教学目标
一、基本目标
1．理解分式方程的概念．
2．能够根据实际问题建立分式方程的数学模型，并能归纳出分式方程的描述性定义．
3．经历“实际问题——建立分式方程模型”的过程，提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识．
二、重难点目标
【教学重点】
分式方程的概念．
【教学难点】
根据题意列分式方程．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P125的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
①＝；②＋＝7；③＝；④＝－1；⑤＝；⑥2x＋＝10；⑦x－＝2；⑧＋3x＝1.
解：①⑤⑥是整式方程，②③④⑦⑧是分式方程．
3．甲、乙两人加工同一种服装，乙每天比甲多加工一件，乙加工服装24件所用的时间与甲加工服装20件所用的时间相同．如何用方程来描述其中数量间的相等关系？
解：设甲每天加工服装x件，可得方程＝.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】下列关于x的方程中，是分式方程的是( )
A．＝ B．＝＋3
C．＋1＝ D．＝1－
【互动探索】(引发学生思考)如何判断一个方程是否是分式方程？
【分析】A、 B中方程分母不含未知数，故不是分式方程；C中方程分母不含表示未知数的字母，π是常数；D中方程分母含未知数x，故是分式方程．
【答案】D
【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数．注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母．
【例2】某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x个，根据题意可列分式方程为( )
A．＝15 B．＝15
C．＝15 D．＝15
【互动探索】(引发学生思考)题中存在着怎样的数量关系？
【分析】原计划每天生产x个，则实际每天生产(x＋4)个，根据题意可得等量关系：(原计划20天生产的零件个数＋10个)÷实际每天生产的零件个数＝15天，根据等量关系列出方程为＝15.
【答案】A
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列方程是分式方程的是( A )
A．＝ B．＝－2
C．2x2＋x－3＝0 D．2x－5＝
2．运动会上，八(3)班拉拉队买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费40元，乙种雪糕共花费30元，甲种雪糕比乙种雪糕多20根，乙种雪糕的价格是甲种雪糕价格的1.5倍，若设甲种雪糕的价格为x元，根据题意可列方程为( B )
A．－＝20 B．－＝20
C．－＝20 D．－＝20
3．一个两位数的个位数字是4，如果把个位数字与十位数字对调，那么所得的两位数与原两位数的比值是.如何用方程来描述其中数量之间的相等关系？
解：设对调前这个两位数的十位数字是x，可得方程＝.
4．某校学生到离学校15 km处植树，部分学生骑自行车出发40 min后，其余学生乘汽车出发，汽车速度是自行车速度的3倍，全体学生同时到达．如何用方程来描述其中数量之间的相等关系？
解：设自行车的速度为x km/h，则汽车的速度为3x km/h，可得方程＝＋.
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．分式方程的概念
2．列分式方程
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时 分式方程的解法
教学目标
一、基本目标
1．掌握解分式方程的基本方法和步骤．
2．经历和体会解分式方程的基本步骤，使学生进一步了解“转化”思想，能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的方法．
二、重难点目标
【教学重点】
解分式方程的基本方法和步骤．
【教学难点】
检验分式方程的解．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P126～P127的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．使分式方程分母为零的根，称为分式方程的增根．产生增根的原因是在方程两边同乘了一个使分母为零的整式．
2．解分式方程的一般步骤是：(1)去分母；(2)解整式方程；(3)验根；(4)小结．
3．解方程：＝.
解：x＝9.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】解方程：
(1)＝； (2)＝－3.
【互动探索】(引发学生思考)将分式方程化为一元一次方程进行求解．
【解答】(1)方程两边同乘x(x－2)，
得5(x－2)＝7x，解得x＝－5.
检验：把x＝－5代入最简公分母，
得x(x－2)≠0，∴x＝－5是原方程的解．
(2)方程两边同乘(x－2)，
得1＝x－1－3(x－2)，解得x＝2.
检验：把x＝2代入最简公分母，
得x－2＝0，∴原方程无解．
【互动总结】(学生总结，老师点评)解分式方程的步骤：(1)去分母；(2)解整式方程；(3)检验；(4)写出方程的解．注意检验有两种方法，一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母，一般是代入最简公分母检验．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．若方程＝＋有增根，则增根为( A )
A．0 B．2
C．0或2 D．1
2．如果关于x的分式方程＝1－有增根，则m的值为( B )
A．－3 B．－2
C．－1 D．3
3．关于x的方程＝1的解是正数，则a的取值范围是 a＜－1且a≠－2.
4．解方程：
(1)＝； (2)＝＋1；
(3)＝； (4)－＝0.
解：(1)x＝1. (2)x＝－.
(3)原方程无解． (4)x＝.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】若关于x的分式方程＋＝无解，求m的值．
【互动探索】先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：一元一次方程无解与分式方程有增根．
【解答】方程两边都乘(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即(m－1)x＝－10.
①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1.
②方程有增根，则x＝2或x＝－2.
当x＝2时，代入(m－1)x＝－10，得(m－1)×2＝－10，m＝－4.
当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10，得(m－1)×(－2)＝－10，解得m＝6.
∴m的值是1，－4或6.
【互动总结】(学生总结，老师点评)分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．分式方程的解法
方程两边同乘最简公分母，化为整式方程求解，再检验．
2．分式方程的增根
(1)解分式方程会产生增根的原因；
(2)分式方程检验的方法．
练习设计
请完成本课时对应练习！
第3课时 分式方程的应用
教学目标
一、基本目标
1．通过创设日常生活中的情境，经历探索分式方程应用的过程，会检验根的合理性．
2．经历“实际问题情境——建立分式方程模型——解分式方程——检验解的合理性”的过程，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力．
二、重难点目标
【教学重点】
分式方程的应用．
【教学难点】
在实际问题中建立分式方程的模型．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P129的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1列分式方程解应用题的步骤：
(1)审题；
(2)设未知数；
(3)找出相等关系，列出分式方程；
(4)解这个分式方程；
(5)检验，看方程的解是否满足方程并符合题意；
(6)写出答案．
2．某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，已知每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个．设B型包装箱每个可以装x件文具，根据题意列方程为 ＝－12 .
3．某市政府打算把一块荒地建成公园，动用了一台甲型挖土机，4天挖完了这块地的一半．后又加一台乙型挖土机，两台挖土机一起挖，结果1天就挖完了这块地的另一半．乙型挖土机单独挖这块地需要几天？
甲型挖土机4天完成了一半，那么甲型挖土机每天挖÷4＝，如果设乙型挖土机单独挖这块地需要x天，那么一天挖；两台挖土机一天共挖＋；两台一天完成另一半．所以列方程为＋＝；解得x＝，即乙单独挖需天．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成．现甲、乙两队合作2个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？
【互动探索】(引发学生思考)设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x＋3)小时，根据等量关系“甲工作效率×2＋乙工作效率×甲队单独完成需要时间＝1”列方程．
【解答】设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x＋3)小时．
由题意，得＋＝1.解得x＝6.
经检验x＝6是方程的解．∴x＋3＝9.
故甲单独完成全部工程需6小时，乙单独完成全部工程需9小时．
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系．
【例2】从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．
(1)求普通列车的行驶路程；
(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．
【互动探索】(引发学生思考)(1)根据高铁的行驶路程是400千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍，两数相乘即可；(2)设普通列车的平均速度是x千米/时，根据乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可．
【解答】(1)根据题意，得400×1.3＝520(千米)．
故普通列车的行驶路程是520千米．
(2)设普通列车的平均速度是x千米/时，则高铁的平均速度是2.5x千米/时．
根据题意，得－＝3，解得x＝120.
经检验，x＝120是原方程的解．
则高铁的平均速度是120×2.5＝300(千米/时)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决问题的关键是分析题意，找到关键描述语和合适的等量关系是解决问题的关键．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．小丽乘坐汽车从青岛到黄岛奶奶家，她去时经过环湾高速公路，全程约84千米，返回时经过跨海大桥，全程约45千米．小丽所乘汽车去时的平均速度是返回时的1.2倍，所用时间却比返回时多20分钟．求小丽所乘汽车返回时的平均速度．
解：设小丽所乘汽车返回时的平均速度是x千米/时．
根据题意，得－＝.
解得x＝75，
经检验，x＝75是原方程的解．
故小丽所乘汽车返回时的平均速度是75千米/时．
2．某厂原计划在规定时间内生产通讯设备60台，由于改进了技术，每天生产的台数比原计划多50%，结果提前两天完成任务．求改进技术后每天生产通讯设备多少台．
解：设改进技术前每天生产x台．
根据题意，得＝＋2.
解得x＝10.
经检验，x＝10是原方程的解，则1.5x＝15.
所以改进技术后每天生产通讯设备15台．
3．一列火车从车站开出，预计行程为450千米，当它出发3小时后，因特殊情况而多停一站，因此耽误30分钟，后来把速度提高了20%，结果准时到达目的地，求这列火车原来的速度．
解：设这列火车原来的速度为x千米/时．
根据题意，得＝3＋＋.
解得x＝75.
经检验，x＝75是原方程的解．
所以这列火车原来的速度为75千米/时．
4．甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材，若甲单独整理需要40分钟完工，若甲、乙共同整理20分钟后，乙需要再单独整理20分钟才能完工．
(1)乙单独整理需要多少分钟完工？
(2)若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？
解：(1)设乙单独整理需要x分钟完工．
根据题意，得＋＝1.
解得x＝80.
经检验，x＝80是原分式方程的解．
故乙单独整理需要80分钟完工．
(2)设甲至少整理y分钟才能完工．
根据题意，得＋≥1.
解得y≥25.
故甲至少整理25分钟才能完工．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．
(1)第一次水果的进价是每千克多少元？
(2)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
【互动探索】(1)根据第二次购买水果数多20千克，可列出方程，解方程即可得出答案；(2)先计算两次购买水果的数量，赚钱情况：销售的水果量×(实际售价－当次进价)，两次合计，就可以求得是盈利还是亏损了．
【解答】(1)设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元．
根据题意，得－＝20.
解得x＝6.
经检验，x＝6是原方程的解．
故第一次水果的进价为每千克6元．
(2)第一次购买水果1200÷6＝200(千克)．
第二次购买水果200＋20＝220(千克)．
第一次赚钱为200×(8－6)＝400(元)，
第二次赚钱为100×(9－6.6)＋120×(9×0.5－6.6)＝－12(元)．
所以两次共盈利400－12＝388(元)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题具有一定的综合性，应该把问题分解成购买水果和卖水果两部分分别考虑．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
列分式方程解应用题的步骤——
练习设计
请完成本课时对应练习！
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