九年级数学上册 走近两圆位置关系的数学思想 人教新课标版.doc

走近两圆位置关系的数学思想
数学思想是数学的灵魂．下面我们共同总结一下与两圆位置关系有关的数学思想，在解决此类问题时，如能够把握其中的数学思想，定能事半而功倍．
一、分类讨论思想
当问题中出现不确定的元素时，就要抓住不确定元素进行分类讨论，而不至于使问题漏解．
例1．与内切，且，的半径，则的半径是 ．
解析 题目中与内切，并未指明大小圆，所以应进行分类讨论．当是大圆时，有，即，所以；当是大圆时，有，即，所以；所以的半径是或．
点评 本题中就是由于内切时圆的大小关系没有确定，从而进行分类讨论．
二、数形结合思想
在解决两圆位置关系的题目时，我们应注意位置关系和数量关系的相互转化，即运用数形结合的数学思想．
例2．已知与的半径分别为1和4，如果两圆的位置关系为相交，那么圆心距的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
B．
3
1
0
2
4
5
D．
3
1
0
2
4
5
A．
3
1
0
2
4
5
C．
3
1
0
2
4
5

解析 由两圆的位置关系为相交，可知圆心距＜＜，应该满足＜＜，即＜＜．对照不等式组，可以确定在数轴上表示正确的为．
点评 本题中把两圆的位置关系（形）转化为圆心距和两圆半径之间的数量关系（数），然后再把它表示在数轴上（形），运用了两次数形结合思想．
三、整体思想
要解决的一些问题中，每一个量可能不容易求出，但其中整体之间却有关系，此时可采用整体的数学思想进行解决．
例3．如图，、都与内切，和相外切，若的半径为，的周长为 ．
解析 设、的半径为，由题意知，
，则的周长．
点评 本题中通过两圆位置关系下的数量关系，把三角形的周长作为一个整体，运用了整体思想进行解决．
四、方程思想
合理运用题目中的等量关系建立方程，运用方程的数学思想，是解决问题一种重要手段．
例4．如图，、、两两外切，的半径为，的半径是半径的倍，是一个直角三角形，,求的半径．
解析 设的半径为，则的半径为．
∵、、两两外切，
∴，，．
∵是一个直角三角形，
∴，即．
解得（舍去）或．即的半径为．
点评 本题通过两圆位置关系得到的数量关系，根据勾股定理建立方程进行解决．