山东省枣庄第四十二中学八年级数学下册《黄金分割》教案 北师大版.doc

山东省枣庄第四十二中学八年级数学下册《黄金分割》教案 北师大版
教学目标：

在数学解题中的运用．
（4）在现实情境中体会黄金分割的文化价值，提高学生对黄金分割价值的审美能力，培养同学们主动参与、积极思考、合作交流的学习品质．增强学生的实践意识和自信心 ．
教学重点：
黄金分割的定义，并能运用．
教学难点：
探究线段黄金分割点的作法．
教学准备：
多媒体课件．
教法学法指导：
学生是学习的主人，教师是组织者、引导者、合作者．学生对黄金分割了解甚少，为调动学生的积极参与我采用的教法是：引导发现法、直观演示法、实验法、讨论法、练习法等多种教学方法优化组合．
采取小组合作交流的探究方式，让学生“在做中学”．
教学过程：
一、创设情境、引入问题——欣赏美
师：（将一个舞台模型摆在讲桌上，取出玩具人，提出问题）下星期到咱们班同学们进行升旗仪式，咱班的“首席主持人”李传秀同学要当指挥，咱们得新选出一位主持人，对新主持人，李传秀你有什么建议吗？
李传秀：有一点要特别注意：他从主席台右侧上台后不要站在主席台的中间，而是站在中间偏右一点．因为站在这个位置上视觉和音响效果是最好的．
师：谢谢你的建议．下面我请同学们真正的来欣赏一下舞台表演．
播放长约30秒钟的芭蕾独舞（含多个立起脚尖的镜头）．
师：刚才李传秀同学说的有没有道理？还有为什么芭蕾舞演员要立起脚尖?这里面是否还有数学道理?相信通过本节课的学习同学们一定会有所了解．
设计意图：唤醒学生对美的感受，营造一个感受美、关注美、探究美的氛围，搭建一个自主体验、合作探究、自主构建的认知平台．
二、师生互动、合作探究
活动一：引入概念——发现美
师：接下来请同学们找一找这几幅国旗图案中有共同图案吗?
课件出示：

找出来的学生举手回答．
生：都含有五角星．
师：为什么世界上有将近40个国家的国旗上的“星”都是五角形的星呢？
生1：因为它好看．
生2：五角星可谓完美．
师：一语中的！古希腊数学家毕达哥拉斯有一句名言：凡是美的东西都具有共同的特征，这就是部分与部分以及部分与整体之间的协调．下面我们就来研究一下五角星是不是具有这样的特点．
（2）形成概念
师：我们来看这个五角星，这部分和，这两个比值之间有什么关系呢？
课件出示：

师：请同学们打开课本101页，大家用刻度尺度量一下并且算出这两个比值，然后进行比较．另外，同学们在计算出线段的比时保留一个有效数字即可．
生开始活动：测量、计算、小组内对照答案、统一意见．师巡视．
师：我看多数同学都已经计算好了，我找同学说一下你的结论．
生1：我测量的结果是AC=16mm ，BC=10mm，AB=26mm，，所以．
师：得出这两个线段的比大致相等结论的同学请举手．
学生举手表达自己的结论．（绝大多数同学都举手了，个别同学是测量的误差太大或是计算错误．）
师：因为我们的测量和计算都存在一定的误差，所以我们得到的结论是大致相等．在科学研究中，我们往往要做成千上万次实验，以获得一个较为准确的数值．数学活动也是如此．实际上=．那由此我们可以得出什么样的结论？
生：我们从数学的角度验证了为什么五角星看起来很美．因为它符合毕达哥拉斯所说的“部分与部分以及部分与整体之间的协调”．
师：是的，在这儿部分与部分的比等于部分与整体的比，这就是我们今天要学习的“黄金分割”．
板书课题：黄金分割．
师：那么什么是黄金分割呢？我们将五角星中的线段抽取出来．大家能不能用自己的语言来描述一下什么叫做黄金分割？
课件出示：

同位之间互相说自己的看法并且互相补充和纠正．
生：如图所示，如果，那么线段AB被点C黄金分割．
师：你把握住了这个概念的关键．具体地说是这样的，请同学们看大屏幕．
课件出示（教师给出概念）：

在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果,那么称线段AB被点C黄金分割（golden section）,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
设计意图：本环节鼓励学生充分活动，探索交流，合情推理．这样通过学生亲自动手操作、计算，亲自经历知识的形成过程，自己发现，形成初步概念，培养学生综合运用线段比的能力和探究的能力．
活动二：自主探究——探索美
（1）黄金分割比
师：如果设，同学们能不能用我们学过的知识来求出k的值．
学生在小组内讨论后在练习本上尝试计算，师巡视，对无从下手的同学进行适当的指导．
生：设AB的长为1，则AC的长为k，BC的长为（1-k），就可以得到，解这个分式方程得．因为线段的比是正数所以．
师：从而我们就可以得到．为了是同学们记忆深刻且不容易产生混淆，同学们不妨这样来记忆：．下面就请同学们把这个概念来记忆一下．
学生记忆概念．
（2）分析概念
师：同学们再进一步的思考一下，线段AB上就一个黄金分割点吗？
生：不是的．根据线段的轴对称性，在靠近A点的这一段应该还有一个黄金分割点．
师：是这样的，一条线段有两个黄金分割点，一般的题目会说明给出的是靠近哪个端点的黄金分割点，如果没有明确指出，就需要同学们注意多种情况的问题了．
（3）应用概念
师：下面我们来做几道小题，看看同学们对黄金分割这个概念的掌握情况．
课件出示：
练习1判断正误：
①如果点C是线段AB的黄金分割点，那么. ( × )
特别提示1：一条线段有2个黄金分割点．C点靠近A端AC就是较短边．
②如果,那么点C是线段AB的黄金分割点． （ × ）
特别提示2：黄金比并不为黄金分割所专有，只要任两条线段的比值满足这一常数，就称这两条线段的比为黄金比．黄金比没有单位．
③如果点C在线段AB上，且，那么点C是线段AB的黄金分割点．（ √ ）
特别提示3：必须满足位置和数量两个条件，才能判断一个点是一条线段的黄金分割点．
练习2：灵活变形公式计算
如图,点P是线段MN的黄金分割点(MP＞NP),
N
M
P
(1)可得比例式= , = .
(2)若MN=1,则MP≈_____,NP≈_____.
(3)若MN=5,则MP≈______,NP≈______.
(4)若MN=a,则MP≈______,NP≈______.
解析：已知点P是线段MN的黄金分割点(MP＞NP)，根据“”，可以得出“短≈长×0.618，长≈全×0.618，短=全-长”再代入具体的数字或字母求出即可．
处理方式：先出示练习一，对于每道题目组织学生以举手的形式表达自己的观点，然后让对错两方的同学分别发言，最后统一结论，组织学生发言时要适时地引导学生认识到“特别提示”所指出的内容．
处理练习二时，要让学生将计算落实到纸面上，而不是空想．
师：同学们知道吗——中世纪意大利的数学家菲波那契测定了大量的人体后得知，人体肚脐以下的长度与身高之比接近0.618，其中少数人的比值等于0.618的被称为：“标准美人”．那现在同学们能不能来说一下芭蕾舞演员为什么要立起脚尖跳舞？
生：她是为了增加自己下半身的长度，而使肚脐以下的长度与身高之比接近0.618．
师：这也是为什么好多女性喜欢穿高跟鞋的原因，大家都想使自己的身材比例更加的接近黄金比．当然我也不例外．
学生不约而同的将目光集中到了老师的高跟鞋上．
师：还有刚才李传秀同学给新主持人的建议是为了什么？
生：要使主持人站在主席台的黄金分割点上．
设计意图：通过对概念的进一步分析、相关练习以及解决“情境创设”部分留下的问题这三个小环节，依据学生已有的知识背景和活动经验，为学生提供了操作、思考与交流的机会．对自读探知的疑惑明了，使学生对“黄金分割”这一概念有明确的认识．增强合作交流意识，让学生在合作交流中体验成功与快乐．
活动三：师生互动——创造美

以把这个问题转化为在一条长为2个单位的线段上截取一段线段使它的长度为（）个单位．同学们不妨先来尝试一下．
大多数同学面露难色，但还是积极讨论．
师：好了，同学们，这一组尺规作图的思路非常巧妙，我们一起来欣赏一下吧．
动画演示边画边解释做法：

如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB.
（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.
（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
师：下面先请同学们仿照老师的作法画出上图，然后探索作法的正确性.自己有困难时可以互相交流，试着证明一下以上结论.
生模仿作图，并探究作法的正确性，教师参与其中，共同证明，加以提示.
生：设AB＝2a，则 BD=DE=a

师：这只是黄金分割点的一种做法，同学们如果有兴趣的话可以上网搜索一下，一定会有所收获．
设计意图：本环节的主要目的就是通过操作应用来巩固黄金分割点的作法，锻炼学生动手操作的能．共分为四小步：激发兴趣、作图演示、模仿作图、验证做法的合理性．
活动四：欣赏拓展——感悟美
师：刚才有同学说了五角星是一个非常完美的图案．那它完美在哪儿呢？是不是还有什么我们没有发现呢？请同学们找一找五角星中还有哪些黄金分割点，并用字母标记在课本109页的图4—4上．
D
E
F
G
学生开始寻找．老师邀请一位学生到电脑上进行标记（flash课件，学生只需要将字母拖动到相应的位置上即可）．

生：如图，C,D,E,F,G点分别是它们所在线段的黄金分割点．
师：面对这样的事实，我们不得不说五角星是完美的．
设计意图：承上启下．
三、应用拓展——应用美
（1）黄金矩形
师：中世纪的数学家开普勒对黄金分割作了很高的评价．他说：“几何学有两大宝藏：一个是勾股定理，另一个是黄金分割．”黄金分割在现实生活中应用广泛，而且历史悠久．大家请打开课本111页．我找一位同学来朗读一下．
生：图4—7是古希腊时期的巴台农神庙，如果用图中的虚线表示的矩形画成如图4-8所示的矩形ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇的发现，．点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？

生分组讨论，充分交流后尝试证明．师巡视，注意倾听学生的讨论，重点发现不同的思路已安排随后的交流汇报．
生1：设则由题意可知，
，，
∴，即点E是AB的黄金分割点，矩形ABCD的宽与长的比是黄金比．
师：刚才巡视的过程中我发现同学们还有其他的推理方法．谁再来说一下？
生2：∵四边形ABCD是矩形
∴AD=BC
∵四边形ADFE是正方形
∴AD=AE
∴AE=BC
∵
∴
由比例式的基本性质可得
∴点E是AB的黄金分割点，矩形ABCD的宽与长的比是黄金比．
师：实际上，像这种宽与长的比是黄金比的矩形就叫做是黄金矩形．它可以用上述的方法无限切割下去，得到一个个越来越小的黄金矩形.
课件出示：

（2）生活中的黄金分割
师用课件展示另一组古今图片（建筑与黄金分割：巴黎圣母院、巴黎埃菲尔铁塔、加拿大多伦多电视塔；艺术与黄金分割：著名油画蒙娜丽莎、小提琴、芭蕾舞；人体与黄金分割：脸型、身材、舒适的温度；自然与黄金分割：向日葵花盘、松子等．）
学生欣赏感悟．
师：我展示的这些只不过是黄金分割在生活中应用的九牛之一毛，同学们有兴趣的话可以到网络上搜索一下，一定会有更深的感悟．
设计意图：介绍黄金分割在现实生活中的广泛运用，加深对本节知识，陶冶学生情操，进一步体会黄金分割的人文价值．
（3）巩固知识，随堂练习——黄金分割点的另外作法
师：实际上我们的课本中还介绍了一种黄金分割点的作法，请同学们阅读课本111页的“随堂练习1”，重点思考这种作法的道理．
课件出示：
任意作一条线段采用如下方法也可以得到黄金分割点：如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH.点H就是AB的黄金分割点.你能说说这种作法的道理吗？

学生在小组内讨论形成思路后在练习本上写出简要的推理过程．师组织学生回答问题．
生：设AB的长度为2a，则AE的长度为a，由题意可知
，

在正方形AFGH中，

∴，即点H就是AB的黄金分割点.
师：同学们能不能总结一下如何证明一个点是一条线段的黄金分割点？
生1：证明．
生2：也可以证明或是．
设计意图：目的在于呈现作黄金分割、点的另一种方法，并将两种方法的本质做一小结．
四、课堂小结——收获美
师：现在请同学们回顾本节课所学的内容，说说看你有什么收获？
生1：我知道了黄金分割、黄金矩形定义．
生2：我学会了作线段黄金分割点的两种方法．
生3：我感受到了黄金分割的美．
生4：我认识到黄金分割的应用广泛．
…… ……
师：同学们还有那些疑惑？
生：没有了．
设计意图：通过学生回忆本节课所学内容，获取新知的途径等方面进行小结，给学生一个充分发挥自己个性的机会，各抒己见，体现了课堂中学生的主体作用．
五、当堂检测——实践美
基础训练
1．已知点C是AB的黄金分割点，且AC>BC，则下列算式中成立的是( )．
A． B．
C． D．
2．已知线段a=10，线段b是线段a上黄金分割所得到的较长的线段，则线段b等于( )．
A． B．
C． D．
3．如图，扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，x与y的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形较美观，若取黄金比为0．6，则x为( )．
A．216 B．135
C．120 D．108
4．以某一黄金矩形的宽为正方形的边长，则该正方形与原黄金矩形的面积之比是 ．
5．科学家研究表明，当人的下肢与身高之比为0．618时，看起来最美，某成年女士身高153 cm，下肢长92 cm，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为 cm．(精确到0.1cm)
6．已知某黄金矩形的周长是cm，那么它的面积是 cm2．
7．已知线段MN=1,在MN 上有一点A，如果求证：点A是MN的黄金分割点．
探究实践
8．五角星是我们常见的图形，如图，其中，点C，D分别是线段AB的黄金分割点，AB=20 cm，求EC+CD的长．

设计意图：通过一定的练习，达到知觉水平上的运用，加深学生对黄金分割的理解，同时让学生主动暴露思维过程，及时得到信息的反馈．
六、布置作业——延伸美
作业：
A类113页：习题4.3第1、2题
B类113页：习题4.3第4题
C类 为妈妈策划她应穿多高的高跟鞋合适？
设计意图：作业分层布置，在完成达标的基础上拓宽和加深，加强学生综合能力和创造才能的培养．也是尊重学生个体差异的表现．
七、板书设计
4.2 黄 金 分 割
一、黄金分割
定义
黄金分割值
二、用尺规找黄金分割点：

三、应用：
黄金分割点的证明：学生板书区

教学反思：
教学设计的优势：
1、注重对学生双基的评价．如 设计的关于黄金分割定义的判断题；学生对比值的计算等．
2、注重对学生观察、动手及参与能力的评价．如欣赏各种美丽的图片并观察特点；动手测量并计算线段的比；探讨黄金分割点的作法等．
3、选择生活中的问题评价学生应用数学的意识和能力．
4、学生能主动参与，积极思考，提高了对自己学习过程的认知．
5、整节课学生在美的世界中自由驰骋，感受到了数学是一种美的科学，美就在我们身边．
存在问题： 相对来说本课的教学内容较难，层次较多，这样的话教学时间就比较紧张，这教学的过程中不是所有的学生都能在一定的时间内探究出所要认识的知识．
再设计：学生的学习能力有所不同，应该尊重个体差异，多为学习有困难的学生创造学习的条件．