资源描述
课案（教师用）
5.2.2 直线平行的判定(2)
（新授课）
【理论支持】
前苏联心理学家维果斯基的“最近发展区”理论是建构主义学习理论的重要分支之一，他强调个体的学习是在一定的历史、社会文化背景下进行的，社会可以为个体的学习发展起到重要的支持和促进作用。在成人或比他成熟的个体的帮助下，个体可以实现从独立活动所能达到的现实发展水平到潜在的发展水平的飞跃，“最近发展区”就是这两种发展水平之间的区域．
本节课是继上节课学习了“同位角相等，两直线平行”之后继续学习“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”两种判定两直线平行的方法，因此学习本课时内容应建立在已经过的“同位角相等，两直线平行”的基础之上，即建立在学生的最近发展区的基础之上．
【教学目标】
知识技能
1．会判断内错角、同旁内角；
2．掌握直线平行的第二种方法和第三种方法及其应用．
数学思考
经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，培养学生的推理能力和有条理的表达能力．
解决问题
经历探索直线平行的条件的过程，掌握两直线平行的条件，并能解决一些实际问题．
情感态度
创设情境，激发学生积极参与交流、学习，主动解决问题，鼓励其创造精神，并从中获得成就感．
【教学重难点】
教学重点：
判定两条直线平行的第二种和第三种方法．
教学难点：
综合运用平行线的判定和性质解决问题．
【课时安排】
本节内容共2课时，本课时是第2课时．
【教学设计】
课前延伸
一、基础知识填空及答案
1． 如图，要得到DE∥BC，则需要条件（ ）
A．CD⊥AB，GF⊥AB B．∠4＋∠5＝180° C．∠1＝∠3 D．∠2＝∠3
第1题 第2题 第4题 \
2．如图所示，能说明AB∥DE的有（ ）
①∠1＝∠D；②∠CFB＋∠D＝180°；③∠B＝∠D；④∠BFD＝∠D．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3． 一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则两次拐弯的角度是（ ）
A．第一次右拐50°，第二次左拐130° B．第一次左拐50°，第二次右拐50°
C．第一次左拐50°，第二次左拐50° D．第一次右拐50°，第二次右拐50°
4． 如图，DF平分∠CDE，∠CDF＝55°，∠C＝70°，则________∥________．
〖答案〗
1． 答案：C
解析：∠1和∠3是一对内错角，根据“内错角相等，两直线平行”可知DE∥BC．
2． 答案：C
解析：①②④正确．
3． 答案：B
解析：要使得两次拐弯后方向在原来的方向上平行前进，则必须一次向左拐，一次向右拐，两个拐弯的角度相同．
4． DE∥BC
〖设计说明〗心理学认为：认知从感知开始，感知是认知的门户，是一切知识的来源．本题所选的题目是引导学生通过预习新课，初步感知本题课涉及到的一些基本概念．
二、预习思考题及答案
1．如图，∵BE平分∠ABD（已知）
∴___________＝2∠1（ ）
∵CE平分∠DCB（已知）
∴___________＝2∠2（ ）
∴__________＋_________＝2∠1＋2∠2＝2（∠1＋∠2）
又∵∠1＋∠2＝90°（已知）
∴_________＋________＝2×90°＝180°，
∴_______∥________（ ）
1． ∠ABC 角平分线的定义 ∠BCD 角平分线的定义 ∠ABC ∠BCD ∠ABC ∠BCD AB CD
〖设计说明〗这个思考题可以让学生学会平行符号的运用，理解平行、垂直之间的区别与联系，让学生在探索本问题的过程中，增强对学习本课时知识的兴趣．
课内探究
一、创设情境，导入新课
活动1
小明有一块小画板，他想知道它的上下边缘是否平行，于是他在两个边缘之间画了一条线段AB．（如图所示）
小明身边只有一个量角器，他通过测量某些角的大小就能知识这个画板的上下边缘是否平行，你知道他是怎样做的吗？
师生行为：
学生分组讨论、寻找解决问题的方法；教师可参与到学生的讨论中，或引导学生寻找解决问题的途径．
在此活动中，教师应重点关注
（1）学生是否积极地寻求解决问题的方案；
（2）学生能否在小组内交流合作，虚心听取别人意见．
生：我们说：两条线段平行是指这两条线段所在的直线平行．所以我想把这个图形中的上下边缘及线段AB都变成直线，则图形变为图:
在图中可以看到：∠与∠2是同位角，∠3与∠2是对顶角，并且相等，所以只要∠1＝∠3，即直线CD∥EF．
生：实际上只需要把线段AB延长即可．
师：同学们讨论得很精彩，知道只要量出如下图所示的∠1与∠3的度数，就可知画板的上下边缘是否平行．那这两个角是什么样的角呢？两直线平行还有哪些条件呢？这节课我们来继续探讨：直线平行的条件．
〖设计说明〗上一节我们学习了判定两直线平行的第一种方法“同位角相等，两直线平行”，但上图中并没有同位角，有没有别的方法可以判断两直线平行呢？为学生创造了一个发现问题、解决问题的空间，提供了一个实践和创新的机会．
二、讲授新课
活动2
如图，分别将木条a、b与木条c钉在一起，并把它们想象成直线．在直线a、b被直线c所截成的角中，∠1与∠2是同位角，∠2和∠3有怎样的位置关系？∠2和∠4呢？转动木条a或b，这些角之间还保持这种关系吗？
师生行为：
学生自己动手操作；教师根据∠2和∠3，∠2和∠4的位置关系，给出内错角和同旁内角的定义．
教师应关注的重要几点：
（1）学生是否积极参与；
（2）能否用精炼的语言表示这种关系；
（3）识图能力．
师：如图所示，∠2和∠3是内错角，“错”是交错的意思，内错角在被截两直线之间，称为“内”，第三条直线即截线的两旁、交错，很形象地称为内错角．
而∠2和∠4是同旁内角，我们不难发现，∠2和∠4在截线同旁，在被截两条直线之间（之内）．
生：转动a和b，这些角之间仍保持着这种关系．
师：图中还有其他的同旁内角和内错角吗？
生：有．例如∠3和∠6是同旁内角，∠4和∠6是内错角．
师：我们继续研究同位角、内错角、同旁内角的位置关系．
〖设计说明〗两条直线被第三条直线所截所组成的“三线八角”中除了同位角，还有内错角、同旁内角．本活动通过学生实际操作或直观演示，更好地认识同位角、内错角、同旁内角的位置关系，为进一步研究直线平行的第二种和第三种方法打基础．
活动3
思考：
（1）如图，如果∠2＝∠3，能得出a∥b吗？
（2）如果∠2＋∠4＝180°，能得出a∥b吗？
师生行为：
由学生独立完成，然后小组交流、归纳、总结；教师可引导学生分析思路，寻求解决问题的一般途径．
教师应关注：
（1）学生能否进行简单的推理；（2）学生能否实现由新知识到旧知识的转化；（3）学生能否体验到情感、态度、价值观．
生：（1）因为∠1＝∠3（对顶角相等），
又∠2＝∠3，
所以∠1＝∠2．
所以a∥b（同位角相等，两直线平行）．
师：好．我们由此可得“内错角相等，两直线平行”即两直线平行的判定方法2．
生：（2）因为∠1＋∠4＝180°，
又∠2＋∠4＝180°，
所以∠1＝∠2（同角的补角相等）．
所以a∥b（同位角相等，两直线平行）．
师：很好．我们得到“同旁内角互补，两直线平行”的第三种判定两直线平行的方法．
到此为止，我们学习了判定两直线平行的三种方法：
同位角相等，两直线平行；
内错角相等，两直线平行；
同旁内角互补，两直线平行．
师生共析：
遇到一个新问题时，常常把它转化为已知的（或已经解决的）问题来解决．这一节中，我们是怎样利用“同位角相等，两直线平行”得到“内错角相等，两直线平行”的？你能利用“内错角相等，两直线平行”得到“同旁内角互补，两直线平行”吗？
即，如图，已知∠2＋∠4＝180°，能得出a∥b吗？
生：可以．因为∠3＋∠4＝180°（邻补角定义），
又∠2＋∠4＝180°（已知），
所以∠2＝∠3（同角的补角相等）．
所以a∥b（内错角相等，两直线平行）．
〖设计说明〗此活动是由方法一经过简单推理得出方法二，而由方法一或方法二得出方法三．这里由学生完成，目的是让学生学着自己去进行简单的推理证明，而不仅仅是观察、实验、探究得出结论．
三、巩固、提高
活动4
思考：
这是小明同学自己制作的英语抄写纸的一部分（如图），其中的横格线互相平行吗？你有多少种判别方法？
练习：
在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的．如图，已经知道∠2是直角，那么再度量图中哪个角（图中已标出的），就可以判断两条直轨是否平行？说出你的理由．
师生行为：
由学生独立思考，然后小组交流；教师注重对不同层次学生给予指导．
在此活动中，教师需关注：
（1）不同的学生得到不同的发展；
（2）鼓励用自己的语言说明理由；
（3）鼓励学生交流，充分表现学生各自的发现．
生：用一条直线截英语抄写纸上的横格线，就可得到同位角或内错角或同旁内角，再用量角器测量同位角或内错角或同旁内角的度数关系，从而判断它们是否平行．
生：我们在前面画平行线时，曾用过推三角板的方式，在这里也可以．
师：很好．同学们下面不妨先看一个例题．
〖设计说明〗目的在于应用直线平行的判定方法解决问题．选取生活中有趣的例子能激发学生的学习兴趣，开阔思维，增强数学的应用意识．
【例题】如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？
分析：垂直总是与直角联系在一起．
答：这两条直线平行，理由如下：
因为b⊥a，c⊥a，
所以∠1＝∠2＝90°．
从而b∥c（为什么）．
你还能利用其他方法说明b∥c吗？
师：我们回到前面的问题，利用例题的结论更简单．
生：练习：因为∠2是直角，∠4和∠2是同位角，如果度量出∠4＝90°，根据“同位角相等，两直线平行”就可判断两条直轨平行．类似地，∠5和∠2是内错角，∠3和∠2是同旁内角，如果度量出它们是直角，也可以判断两条直轨平行．
四、课时小结
1．谈谈本节课有哪些收获？
2．重点掌握平行线的判定；
3．理解平行公理．
课后提升
1． 如图，∠1与∠3互余，∠2与∠3的余角互补，判断直线、是否平行。
2． 如图所示，已知直线a、b、c、d、e，且∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°，则a与c平行吗？为什么？
3．如图，AB⊥BC，BC⊥CD，BF和CE是射线，并且∠1＝∠2，试说明BF∥CE．
4．如图，如果CD∥AB，CE∥AB，那么C，D，E三点是否共线？你能说明理由吗？
5．如图，已知∠1＝∠2，DE平分∠BDC，DE交AB于点E，试说明AB∥CD．
6．如图，已知AC、BC分别平分∠QAB、∠ABN，且∠1与∠2互余，试说明PQ∥MN．
7．如图，∠B＋∠BED＋∠D＝360°，试说明AB∥CD．
【答案】
1． 答：∥，
理由：∵∠1与∠3互余，∠2与∠3的余角互补，
∴∠1＋∠2＝180°，
∴∥．
2． 答：平行 理由：∵∠1＝∠2，∴a∥b，∵∠3＋∠4＝180°，∴b∥c，∴a∥c
3．证明：∵AB⊥BC，BC⊥CD，∴∠ABC＝∠BCD＝90°
∵∠1＝∠2，∴∠CBF＝∠BCE
∴BF∥CE．
4．答：C，D，E三点共线
理由：∵CD∥AB，CE∥AB，
根据过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线
∴C，D，E三点共线
5．解：∵DE平分∠BDC
∴∠2＝∠EDC
∵∠1＝∠2
∴∠EDC＝∠1
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
6．解：∵AC、BC分别平分∠QAB、∠ABN
∴∠QAB＝2∠1，∠ABN＝2∠2
∵∠1＋∠2＝90°
∴2∠1＋2∠2＝180°
∴∠QAB＋∠ABN＝180°
∴PQ∥MN（同旁内角互补，两直线平行）
7．过点E，作EF∥AB，则∠B＋∠BEF＝180°，
∵∠B＋∠BED＋∠D＝360°，∴∠D＋∠DEF＝180°
∴EF∥CD，∴AB∥CD．
〖设计说明〗本组习题主要是帮助学生理解平行线的几种判定方法，培养综合运用平行线的几种判定方法和解决问题的能力。
附板书设计：
板书设计
5.2.2 直线平行的条件（二）
1．
2．垂直于同一条直线的两直线平行．
活动与探究
如图，∠BAF＝46°，∠ACE＝136°，CE⊥CD，问：CD∥AB吗？为什么？
解：CD∥AB，
因为：∠FAB＋∠BAC＝180°，∠FAB＝46°，
所以：∠BAC＝134°，又因为CE⊥CD，
则∠DCE＝90°，
又因为∠DCE＋∠DCA＋∠ACE＝360°，∠ACE＝136°，
所以∠ACD＝134°，因此∠ACD＝∠BAC，从而得：AB∥CD．
或：把CD反向延长，如图：
则∠ACE＝∠ACG＋∠GCE．
因为CE⊥CD，所以∠DCE＝∠ECG＝90°．
又因为∠ACE＝136°，所以∠ACG＝46°．
又因为∠FAB＝46°，所以∠ACG＝∠FAB．
从而得：AB∥DG，即AB∥CD．
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