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第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
教学目标
1.通过对实际问题情境的分析,让学生经历二次函数概念的形成过程,学会用类比思想学习二次函数知识.
2.掌握二次函数的概念.
3.认识到二次函数来源于实际生活,感受到二次函数在实际生活中有着广泛的应用.
教学重难点
重点:二次函数的概念.
难点:理解变量之间的对应关系.
教学过程与方法
知识点:二次函数的概念
1.学生自主学习 教材P28~P29问题1、问题2(约5分钟)
2.观察思考与归纳(约5分钟)
(1)观察y=6x2、d=n2-n、y=20(1+x)2这三个函数,它们有什么共同点?
(2)你觉得这样的函数可以叫做什么函数?
(3)在学生思考回答后,给出二次函数的定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中,x是自变量,a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
(4)师生一起讨论二次函数有哪几种特殊形式.
3.巩固强化与交流(约5分钟)
(1)教材P29练习第1~2题.
(2)出示例1:下列函数中,哪些是二次函数?哪些不是?
①y=1-2x2
②y=(x-2)(x+3)-x2
③y=(a2+1)x2+bx
④y=+-1
⑤y=
⑥y=()2+2-1
解:①③是二次函数;其余都不是二次函数.
4.合作与探究(约5分钟)
(1)你对二次函数概念的理解有了哪些新的认识?
(2)出示例2:已知函数y=(a+1)+(a-2)x.
①当a为何值时,此函数为二次函数?
②当a为何值时,此函数为一次函数?
解:①a=1.②a=0或a=-1.
5.课堂小结(约5分钟)
(1)到目前为止,我们学习了哪些函数?这些函数之间有什么联系?
(2)二次函数的一般表达式是怎样的?对a、b、c有什么条件限制?
(3)谈谈你的收获和困惑.
6.独立作业(10分钟)
(1)必做题:习题22.1第1题.
(2)选做题:习题22.1第2题.
(3)备用题:
当k为何值时,函数y=(k-1)+2kx-1①为二次函数;②为一次函数?
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
教学目标
1.会用描点法画出二次函数y=ax2的图象,掌握二次函数y=ax2的性质.
2.经历探索二次函数y=ax2的图象与性质的过程,能运用二次函数y=ax2的图象及性质解决简单的实际问题,掌握数形结合的数学思想方法.
3.通过数学学习活动,体会数学与实际生活的联系,感受数学的实际意义,激发学习兴趣.
教学重难点
会画二次函数y=ax2的图象和理解相关概念是本节课的学习重点也是难点;对二次函数研究的途径和方法的体悟也是本节课的难点.
教学过程与方法
知识点一:函数y=ax2图象的画法
1.情境导入(约3分钟)
导语一:回忆一次函数的图象、反比例函数的图象特征,思考二次函数的图象又有何特征呢?
导语二:展示(用课件或幻灯片)具有抛物线的实例图让大家欣赏,议一议这与二次函数有何联系,从而引入新课.
导语三:用红色的乒乓球作投篮动作,观察乒乓球的运动路线,思考其运动路线有何特征.怎样用数学规律来描述呢?
2.自主学习(约10分钟)
(1)认真阅读教材P29~P30,并操作(填表与画图).
(2)思考:利用描点法画函数图象有哪些步骤?在第一步“ ”时,自变量x的取值需要注意什么?你怎样体会关键词“列表”、“描点”、“连线”、“平滑”?
3.交流体会(约5分钟)
二次函数y=ax2的图象是什么?二次函数y=ax2+bx+c的图象叫什么?抛物线的对称轴、顶点坐标、最高点、最低点有什么含义?
知识点二:y=ax2的图象与性质
4.合作与探究(约10分钟)
(1)画函数y=-x2,y=-x2,y=-2x2.
(2)归纳与总结
一般地,抛物线y=ax2的对称轴是 y轴 ,顶点是 (0,0) .当a>0时,抛物线的开口 向上 ,顶点是抛物线的最 低 点,a越大,抛物线的开口 越小 ,在对称轴的左侧,y随x的增大而 减小 ,在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大 .当a<0时,抛物线的开口向 下 ,顶点是抛物线的最 高 点,a越大,抛物线的开口越 大 ,在对称轴的左侧,y随x的增大而 增大 ,在对称轴的右侧,y随x的增大而 减小 .
5.课堂小结(约3分钟)
谈谈收获与困惑或发现.
6.独立作业(约9分钟)
(1)必做题:习题22.1第3、4题
(2)备用题:
①二次函数y=x2,y=-x2,y=x2的图象在同一平面直角坐标系中的共同点是( D )
A.开口方向向上
B.都是关于x轴对称的抛物线,且y随x的增大而增大
C.都是关于y轴对称的抛物线,且y随x的增大而减小
D.都是关于y轴对称的抛物线,有公共顶点
②在同一平面直角坐标系中,同一水平线上开口最大的抛物线是( B )
A.y=-x2 B.y=-x2
C.y=-x2 D.y=-x2
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质
教学目标
1.能解释二次函数y=ax2+k和y=ax2的图象的位置关系.
2.掌握y=ax2上、下平移规律.
3.体会图形的变化与图形上的点的坐标变化之间的关系,领悟y=ax2与y=ax2+k相互转化的过程.
教学重难点
重点:抛物线y=ax2+k的图象与性质.
难点:理解抛物线y=ax2与y=ax2+k之间的位置关系.
教学过程与方法
知识点一:y=ax2+k的图象
1.回顾与思考(5分钟)
(1)回顾:抛物线y=x2和y=-x2的图象和性质及它们之间的关系.
(2)思考:y=x2+1,y=x2-1的图象怎样?它们与y=x2之间又有怎样的关系呢?
2.自主学习(15分)
(1)参照教材P32例2的填表、描点.
(2)讨论
①抛物线y=x2+1,y=x2-1的开口方向、对称轴、顶点各是什么?
②抛物线y=x2+1,y=x2-1与抛物线y=x2有什么位置关系?
(3)归纳与交流
①把抛物线y=x2向 上 平移 1 个单位,就得到抛物线y=x2+1,把抛物线y=x2向 下 平移 1 个单位,就得到抛物线y=x2-1.
②一般情况:当k>0,把抛物线y=ax2向 上 平移 k 个单位,可得y=ax2+k;当k<0时,把抛物线y=ax2向 下 平移 |k|或-k 个单位,可得y=ax2+k.
③y=ax2+k的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值分别是什么?
解:a>0时,开口向上,对称轴是y轴,顶点(0,k),最小值为k.
a<0时,开口向下,对称轴是y轴,顶点(0,k),最大值为k.
知识点二:y=ax2+k的性质
3.合作与探究(5分钟)
(1)抛物线y=ax2+k与y=ax2的图象的异同点是什么?
(2)抛物线y=ax2+k与y=ax2的增减性又是怎样?
4.课堂小结(5分钟)
1.二次函数y=ax2+k的图象和性质(包括开口方向、对称轴、顶点坐标).
2.抛物线y=ax2+k与y=ax2之间的联系与区别(包括平移、开口、对称轴、顶点等).
处理方法:可以让学生围绕这两个问题先小结,然后教师进行补充或强调.
5.独立作业(15分钟)
(1)必做题:P33练习.
(2)选做题:习题22.1第5题(1).
(3)备用题:
①二次函数y=ax2+k的图象经过点A(1,-3),B(-2,-6),求这个二次函数的解析式.
解:该二次函数的解析式为:y=-x2-2.
②已知二次函数y=-2x2+3,当x取何值时,y随x的增大而增大;当x取何值时,y随x的增大而减小?
解:当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x的增大而减小.
③二次函数y=ax2+k(a,k为常数),当x取值x1、x2时(x1≠x2),函数值相等,则当x取x1+x2时,函数值为 0 .
④函数y=ax2-a与y=(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能为( A )
第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
教学目标
1.会用描点法画二次函数y=a(x-h)2的图象.
2.理解抛物线y=a(x-h)2与y=ax2之间的位置关系.
3.在图象的平移过程中,渗透变与不变的辩证思想.
教学重难点
重点:二次函数y=a(x-h)2的图象和性质.
难点:把握抛物线y=ax2通过平移后得到y=a(x-h)2时平移的方向和距离.
教学过程与方法
1.师生互动,提出问题(3分钟)
(1)抛物线y=-x2+3与y=-x2的位置有什么关系?
(2)抛物线y=-x2+3的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么?
2.探究新知(10分钟)
知识点一:y=a(x-h)2的图象和性质
(1)在同一坐标系中画出二次函数y=-x2、y=-(x+1)2、y=-(x-1)2的图象.
①列表时怎样取值才能使抛物线具有对称性?
②这三条抛物线的对称轴、顶点坐标分别是什么?
③这三条抛物线能否经过相互的平移得到?怎样平移?
3.交流探究:教材P34~P35(5分钟)
4.归纳总结(5分钟)
抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=ax2的形状相同,只是位置不同,它可以由抛物线y=ax2平移得到:当h>0时,向右平移h个单位,当h<0时,向左平移|h|个单位,它的对称轴是直线x=h,顶点坐标为(h,0).
知识点二:y=a(x-h)2的性质
5.讨论(5分钟)
(1)a>0,开口 向上 ,当x= h 时,函数y有最 小 值= 0 ,在对称轴的左侧,y随x的增大而 减小 ,在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大 .
(2)a<0,开口 向下 ,当x= h 时,函数y有最 大 值= 0 ,在对称轴的左侧,y随x的增大而 增大 ,在对称轴的右侧,y随x的增大而 减小 .
6.课堂练习(3分钟)
(1)抛物线y=2(x+1)2可以由抛物线 y=2x2 向 左 平移1个单位得到.
(2)抛物线y=-(x-4)2可以由抛物线 y=-x2 向右平移 4 个单位得到.
(3)已知二次函数y=-(x-2)2,说出函数图象的对称轴和顶点及最值、增减性.
解:二次函数y=-(x-2)2的对称轴为x=2,顶点为(2,0),有最大值0.当x<0时,y随x的增大而增大,当x>0时,y随x的增大而减小.
7.课堂小结(3分钟)
(1)抛物线y=a(x-h)2与y=ax2的关系.
(2)抛物线y=a(x-h)2的对称轴、顶点.
(3)平移规律:“左加右减”.
(4)你还有哪些困惑和收获?
8.独立作业(11分钟)
(1)必做题:习题22.1第5题(2).
(2)备用题:
①已知抛物线y=a(x+h)2的顶点是(-3,0),它是由抛物线y=-4x2平移得到的,则a= -4 ,h= 3 .
②把抛物线y=(x+1)2向 右 平移 4 个单位后得到抛物线y=(x-3)2.
③把抛物线y=x2+mx+n向左平移4个单位,得到抛物线y=(x-1)2,则m= -10 ,n= 25 .
第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
教学目标
1.会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2+k(a、h、k是常数,a≠0)的图象,掌握抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象之间的关系,熟练掌握函数y=a(x-h)2+k的有关性质,并能用函数y=a(x-h)2+k的性质解决一些实际问题.
2.经历探索y=a(x-h)2+k的图象及性质的过程,体验y=a(x-h)2+k与y=ax2、y=ax2+k、y=a(x-h)2之间的转化过程,深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法.
3.通过观察函数的图象,归纳函数的性质等活动,感受学习数学的价值.
教学重难点
重点:二次函数y=a(x+h)2+k的性质.
难点:教材P36例4的解答需要选取合适的坐标系,有一定的难度,是本节教学的难点.
教学过程与方法
1.回顾与思考(3分钟)
我们已经学习了形如y=ax2,y=ax2+k,y=a(x-h)2的函数,知道了它们可以经过互相平移得到.二次函数y=a(x-h)2+k又是一条怎样的抛物线呢?它与这三条抛物线之间有什么关系?
知识点一:y=a(x-h)2+k的图象和性质
2.合作与探究:教材P35例3(15分钟)
(1)在同一坐标系内,画出二次函数y=-x2,y=-x2-1,y=-(x+1)2-1的图象.
处理方法:师生一起完成列表,再由学生画出图象,如图.
(2)指出y=-(x+1)2-1的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性.
(3)y=-(x+1)2-1可以由y=-x2怎样平移而得到?
(4)归纳:y=a(x-h)2+k的图象和性质及由y=ax2平移得到函数图象的规律.
知识点二:y=a(x-h)2+k的实际运用
3.解决问题,交流思想(16分钟)
(1)读懂教材P36例4题意.
(2)怎样建立平面直角坐标系?
(3)怎样才能与二次函数联系起来?
4.课堂练习:教材P37练习(3分钟)
5.课堂小结(4分钟)
(1)本节课我们学习了哪些内容?
引导学生从以下几个方面去回顾:
①二次函数y=a(x-h)2+k的性质;
②抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的平移关系;
③选取坐标系的方法.
(2)谈一谈你的收获或困惑.
6.独立作业(10分钟)
(1)必做题:习题22.1第5题(3),第7题(1).
(2)备用题:
已知y=a(x-h)2+k是由抛物线y=-x2向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度得到的抛物线.
①求出a、h、k的值;
②在同一坐标系中,画出y=a(x-h)2+k与y=-x2的图象;
③观察y=a(x-h)2+k的图象,当x取何值时,y随x的增大而增大;当x取何值时,y随x的增大而减小,并求出函数的最值;
④观察y=a(x-h)2+k的图象,你能说出对于一切x的值,函数y的取值范围吗?
解:①a=-,h=1,k=2 ②图略 ③当x<1时,y随x的增大而增大;当x>1时,y随x的增大而减小;当x=1时,函数有最大值2 ④对于一切x的值y≤2.
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
教学目标
1.会用描点法画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象;会用配方法将二次函数y=ax2+bx+c的解析式写成y=a(x-h)2+k的形式;通过图象能熟练地掌握二次函数y=ax2+bx+c的性质.
2.经历探索y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k的图象及性质紧密联系的过程,能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题,深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想.
3.通过合作交流,激发学习数学的兴趣,感受数学的价值.
教学重难点
重点:用描点法画出二次函数的图象,并指出该图象的基本性质.
难点:通过对二次函数y=ax2+bx+c上的一些点的分析得出关于a、b、c的不等式.
教学过程与方法
知识点:y=ax2+bx+c的图象和性质
1.提出问题(3分钟)
你能作出y=x2-6x+21的图象吗?
2.自主学习:教材P37~P39(9分钟)
3.交流方法(2分钟)
4.归纳总结(4分钟)
①一般地,我们可以用配方法求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点与对称轴.
y=ax2+bx+c=a(x+)2+,因此,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-,顶点坐标是(-,).
②开口方向、最值、增减性怎样?
5.课堂练习:P39练习(3分钟)
6.课堂小结(5分钟)
(1)求二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标通常有几种方法?配方时应注意什么?公式是怎样的?
(2)指出y=ax2+bx+c的开口方向、顶点坐标.
7.独立作业(15分钟)
(1)必做题:习题22.1第6题(1)(3).
(2)选做题:习题22.1第6题(2)(4).
(3)备用题:
①用配方法将二次函数y=x2-6x+21化成y=a(x-h)2+k的形式.
解:y=(x-3)2+12
②某学生推铅球,铅球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=-x2+x+,则铅球落地的水平距离为 5 m.
第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
教学目标
1.能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式.
2.经历探索由已知条件的特点,灵活选择二次函数三种形式的过程,明确正确选择二次函数设法能使计算简化和三种形式是可以互相转化的.
3.通过亲自体验,感受学习数学的乐趣.
教学重难点
重点:用待定系数法求二次函数的解析式.
难点:灵活选择合适的表达式设法,使求解达到简便、快捷的效果.
教学过程与方法
1.回顾与思考(3分钟)
(1)二次函数有哪些形式?
y=ax2,y=ax2+c,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k,y=ax2+bx+c,y=a(x-x1)(x-x2)
(2)要求二次函数的解析式,你打算怎么办?
知识点:用待定系数法求二次函数的解析式
2.出示例题,学会合作解决(20分钟)
【例1】 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中自变量x和函数值y的部分对应值如下表:
x
…
-
-1
-
0
1
…
y
…
-
-2
-
-2
-
0
…
则该二次函数的解析式为 y=x2+x-2 .
【例2】已知二次函数图象的顶点是(1,-3),且经过点M(2,0),这个函数的解析式为 y=3x2-6x .
【例3】已知二次函数的图象如图所示,此抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3 .
【例4】已知一抛物线与x轴的交点是A(-1,0),B(m,0),且经过第四象限的点C(1,n),而m+n=-1,mn=-12,此抛物线的解析式为 y=x2-2x-3 .
3.学生交流、归纳(5分钟)
求解二次函数的解析式所设置的表达式:
(1)一般式:y=ax2+bx+c.
(2)顶点式:y=a(x-h)2+k.
(3)交点式(两根式):y=a(x-x1)(x-x2).
(4)y=ax2,y=ax2+c,y=a(x-h)2等特殊形式.
4.课堂练习(5分钟)
根据下列条件,求二次函数解析式.
(1)抛物线经过(-1,11),(2,8)和(0,6)三点.
(2)抛物线的顶点坐标为(3,-1),且经过点(2,3).
(3)抛物线的对称轴为直线x=2,且经过点(1,4)和(5,0).
(4)抛物线经过(-1,0),(3,0)和(0,2)三点.
解:(1)y=2x2-3x+6
(2)y=4(x-3)2-1
(3)y=-(x-2)2+4
(4)y=-(x+1)(x-3)
5.质疑视导(2分钟)
师生一起分析有哪些收获或困惑.
6.拓展性练习(15分钟)
(1)已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(3,-2),且与x轴两交点间的距离为4,则抛物线的解析式为 y=(x-3)2-2 .
(2)老师出示了小黑板上的题后(如下框).
已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于(1,0),试添加一个条件,使它的对称轴为直线x=2.
小华说:过点(3,0);小彬说:过点(4,3),小明说:a=1,小颖说:抛物线被x轴截得的线段长为2,你认为四个人的说法中,正确的有( D )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
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