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第七章：圆
第7课时：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（一）
教学目标：
1、本节课使学生理解圆的旋转不变性；
2、掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理，并能应用这些关系定理证明一些问题．
3、通过本节课的教学进一步培养学生观察、比较、归纳、概括问题的能力．
教学重点：
圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理．
教学难点：
“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理”中的“在同圆或等圆”的前提条件的理解．
教学过程：
一、新课引入：
同学们请观察老师手中的圆形图片．AB为⊙O的直径．①我把⊙O沿着AB折叠，两旁部分互相重合，我们知道这个圆是一个轴对移图形．②若把⊙O沿着圆心O旋转180°时；两旁部分互相重合，这时我们可以发现圆又是一个中心对称图形．由学生总结圆不仅是轴对称图形，圆也是中心对称图形．
若一个圆沿着它的圆心旋转任意一个角度，都能够与原来图形互相重合，这就是我们本节课要讲的内容：圆的一条特殊性质，即圆的旋转不变性．从圆的旋转不变性出发，推出圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，这是本节课我们所要学习的圆的又一条性质．
二、新课讲解：
首先出示圆形图片，引导学生观察：
下面我们来学习圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．
提问两名中下生回答弧、弦的概念．
接着教师一边画图，一边引导学生观察，由学生总结出：
圆心角定义：顶点在圆心的角叫圆心角．
弦心距定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距．教师通过图片（图7-21）演示，从学生观察中得到圆的旋转不变性，到圆心角、弦心距的两个概念，其目的是要求学生学会从观察、比较到归纳分析知识的能力，这样可以充分调动学生学习几何的积极性．
教师为了使学生真正了解图中圆心角、弧、弦、弦心距之间的内在联系，有意识找两位差一些的学生回答：“指出圆心角∠AOB所对的弧是______，所对的弦是______，所对弦的弦心距是______．
接下来我们来讨论：在⊙O中，如果圆心角∠AOB=∠A′OB′，那么它们所对的 和 ，弦AB和A′B′、弦心距OM和OM′是否也相等呢？
教师利用电脑演示，一边讲解，我们把∠AOB连同AB沿着圆心O旋转，使射线OA与OA′重合．由圆的旋转不变性，射线OB与OB′重合．因为∠AOB=∠A′OB’，OA=OA′，OB=OB′，∴点A与点A′重合，AB与A′B′重合，从点O到AB的垂线OM和点O到A′B′的垂线OM′也重合．
即， = ，AB=A′B′，OM=OM′．
于是由一名学生总结定理内容，教师板书：
定理：在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．
教师进一步提出这样一个问题：这个命题不加“在同圆或等圆”这个前题条件是否是一个真命题呢？
学生分小组讨论，由小组代表发表自己的意见．教师概括如下：
这个定理的题设是：“在同圆或等圆中”、圆心角相等；结论是：“所对的弧相等”、“所对弦相等”、“所对弦的弦心距相等”．
值得注意的是：在运用这个定理时，一定不能丢掉“在同圆或等圆中”这个前提．否则也不一定有所对的弧、弦、弦心距相等这样的结论．
教师为了培养学生的思维批判性，请一名同学画一个只能是圆心角相等的这个条件的图，虽然∠AOB=∠A′OB′，但由于OA≠OA′，OB≠OB′．通过举出反例强论对定理的理解．
这时教师分别把两个圆心角用①表示；两条弧用②表示；两条弦用③表示；两条弦的弦心距用④表示，我们就可以得出这样的结论．
事实上，由于在“同圆或等圆中”这个前提下，将题设和结论中任何一项交换都是正确的．于是得到了这个定理的推论，
为了巩固所学习的定理，黑板上出示例1：
例1 如图7-23，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B和C、D．求证：AB=CD．
这道题的证明思路，教师引导学生分析：要证明两弦AB=CD，根据本节课所学的定理及推论，只要能证出圆心角、弧、弦心距三个量之中的一个相等即可．由于已知PO是∠EPF的平分线，利用角平分线的性质可知点O到AB、CD的距离相等，即弦心距相等，于是可证明AB=CD．
学生回答证明过程，教师板书：
证明：作OM⊥AB，ON⊥CD，M，N为垂足．
接着教师请同学们观察幻灯片，教师一边演示，一边讲解：如果将例1的∠EPF的顶点P看成是沿着PO这条直线运动，（1）当顶点在⊙O上时；（2）当顶点P在⊙O内部时，是否能得到例1的结论？请同学们课后思考完成．
课堂练习：教材P．88中1、2、3．
三、课堂小结：
本节课主要学习的内容是
（1）圆的旋转不变性；
（2）同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系．
本节课学习方法是（1）增加了证明角相等、弧相等的新方法；
（2）利用本节课的定理可以证明弦、弦心距相等的方法．
四、布置作业
教材P．99中1（1）、2、3．
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