陕西省石泉县八年级数学上册 13.4 课题学习 最短路径问题同课异构教案3 （新版）新人教版-（新版）新人教版初中八年级上册数学教案.doc

13.4课题学习 最短路径问题
课标依据
最短路径以及等腰三角形性质
一、教材分析
随着课改的深入，数学更贴近生活，更着眼于解决生产、经营中的问题，于是就出现了为省时、省财力、省物力而希望寻求最短路径的数学问题。这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”，由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别。初中数学中路径最短问题，体现了数学来源于生活，并用数学解决现实生活问题的数学应用性。
二、学情分析
学生已学习过研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”以及“三角形的第三边大于另两边之差，小于另两边之和”等的问题. 学生学习基础一般，在数学问题的提出和解决上有一定的方法，但不够深入和全面，需要教师的引导和帮助。
三、教学目标
知识与
技能
能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
过程与
方法
能做出一个图形经轴对称变化后的图形；能利用轴对称变换解决日常生活中的实际问题。

情感态度与价值观
培养学生的探究、归纳、分析、解决问题的能力。
四、教学重点难点
教学重点
利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.
教学难点
如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题

五、教法学法
问题情境——建立数学模型——巩固训练——拓展延伸。
六、教学过程设计
师生活动
设计意图
一、创设情景 引入课题
前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”.
(板书)课题
学生思考教师展示问题,并观察图片,获得感性认识.
二、自主探究 合作交流 建构新知
追问1:观察思考,抽象为数学问题
这是一个实际问题,你打算首先做什么?
活动1:思考画图、得出数学问题
将A,B 两地抽象为两个点,将河l 抽象为一条直线.

追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗?

强调:将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”
活动2:尝试解决数学问题
问题1 : 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小?
追问1　你能利用轴对称的有关知识,找到上问中符合条件的点B'吗?

问题2　如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB的和最小?

师生活动:学生独立思考,画图分析,并尝试回答,互相补充
如果学生有困难,教师可作如下提示
作法:
(1)作点B 关于直线l 的对称点B';
(2)连接AB',与直线l 相交于点C,则点C 即为所求.
如图所示:

问题3　你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?
教师展示:证明:如图,在直线l 上任取一点C'(与点C 不重合),连接AC',BC',B'C'.
由轴对称的性质知,
BC =B'C,BC'=B'C'. ∴AC +BC= AC +B'C = AB', AC'+BC'= AC'+B'C'.
在△AC'B'中, AC'+B'C'>AB',
∴当只有在C点位置时, AC+BC最短.
方法提炼:
将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.
三、巩固训练
(一)基础训练
1.最短路径问题
(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要连接这两点,与直线的交点即为所求.
如图所示,点A,B分别是直线l异侧的两个点,在l上找一个点C,使CA+CB最短,这时点C是直线l与AB的交点.

(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要找到其中一个点关于这条直线的对称点,连接对称点与另一个点,则与该直线的交点即为所求.
如图所示,点A,B分别是直线l同侧的两个点,在l上找一个点C,使CA+CB最短,这时先作点B关于直线l的对称点B',则点C是直线l与AB'的交点.

(二)变式训练；《学案》75页：第 6 题
四、反思小结
(1)本节课研究问题的基本过程是什么?
(2)轴对称在所研究问题中起什么作用?解决问题中,我们应用了哪些数学思想方法?你还有哪些收获?

从生活中问题出发，唤起学生的学习兴趣及探索欲望.

为学生提供参与数学活动的生活情境，培养学生的把生活问题转化为数学问题的能力.

经历观察-画图-说理等活动，感受几何的研究方法，培养学生的逻辑思考能力.

达到轴对称知识的学以致用，注意问题解决方法的小结：抓对称性来解决。

及时进行学法指导，注重方法规律的提炼总结。

巩固所学知识，增强学生应用知识的能力，渗透转化思想.

总结回顾学习内容，帮助学生归纳反思所学知识及思想方法.关注学生的个体差异.