八年级数学下学期期末复习《反比例函数》课案（教师用) 新人教版.doc

课案（教师用）
课题：反比例函数
（课型：复习课）
【理论支持】
《数学课程标准》要求八年级的学生学习本章后能用反比例函数的知识探索数、形及实际问题中蕴含的关系和规律，体会数学与现实生活的紧密联系。
“掌握学习”不仅是掌握学科的知识，而且还应该掌握学科的方法和手段。“掌握教学”教育思想的代表布卢姆认为，实施“掌握学习”办须把握3个变量：一、先决认知行为，指学习者在学习新的知识之前，必须具备一定的基础知识和能力。二、先决情感特点，指学习者参与学习的动机和态度。三、教学质量，指学校和教师、学生的学习和对学习过程产生重要影响的各种直接控制因素。这三个变量相互依存，又相互作用，共同影响着 “掌握学习”的效果。
结构主义教育专家布鲁纳认为：“儿童应该在教师的启发引导下按自己观察事物的特殊方式去表现学科知识的结构，借助于教师或教师提供的其他材料去发现事物。”“现学习中，教师应该注意以下几个方面。一是鼓励儿童积极思考和探索。 二是注意新旧知识的相容性。 三是培养学生运用假设、对照的技能。”
本节课是对“反比例函数”全章的复习课。主要包含反比例函数的解析式、图像、性质、应用等知识点。教材在编写上采用了直观、操作、观察、概括和交流等活动方式。教材中隐含了数学中重要的“分类讨论、数形结合”的思想。该教学内容在学生对函数有初步认识的基础上讨论反比例函数图像及其性质，从而进一步领悟函数的概念、性质，并形成函数的观点来处理实际问题的意识，提高聪函数图像中获取信息的能力，建立数学模型，并为后面的二次函数的学习产生一定的作用与影响。
学习对象分析：
1．八年级学生经过一年的初中学习，学习数学的主动性有所增强。但由于八年级的学生处于青春过渡期，探求知识的持久性不长，注意力易于分散，在课堂中教师要激发学生的求知欲。
2.八年级的学生处于学习数学的“拐点”，尤其是“函数”类的内容。许多学生习惯地用形象思维的方式去理解函数的图像和性质，无法用数形结合的思想对知识进行梳理、整合。因此本节课“反比例函数的复习”对于八年级的学生运用合理思维方式对本章内容进行梳理、整合显得很重要。
3.八年级学生在学习在数学的过程中，已经积累了一定数学学习经验，在教学过程中教师教学方式需多样而有效，要让学生积极参与，从而乐于探究。
总之，通过本节课的研究让学生养成应用数学、合理使用数学思想方法。通过小组合作学习提高学生合作意识，从中获得广泛的数学活动经验。体验到数、形是有效地描述现实世界的重要手段与解决实际问题的最重要工具之一。

【教学目标】
教学目标
知识技能
1、通过对实际问题中数量关系得探索，掌握用函数的思想去研究其变化规律
2、结合具体情境体会和理解反比例函数的意义，并解决与它们有关的简单的实际问题
3、让学生参与知识的发现和形成过程，强化数学的应用与建模意识，提高分析问题和解决问题的能力。
数学思考
在具体的问题中探索数量关系和变化的过程，理解反比例函数的概念，领会反比例函数作为一种教学模型的意义。
解决问题
通过复习让学生进一步熟悉反比例函数的概念及图象和性质，进一步了解和掌握数形结合的数学思想。
情感态度
培养学生观察、分析、归纳的能力，感悟数形结合的数学思想方法，体会反比例函数在实际问题中的应用价值。
【教学重难点】
1．教学重点：反比例函数的图像和性质。
2．教学难点：比例函数的图像和性质在实际问题中的运用。
【课时安排】
一课时
【教学设计】
课前延伸
1．小华以每分钟x字的速度书写，y分钟写了300个字，则y与x的函数关系式为( )
A. x= B．y= C． D．y=
2．如果反比例函数的图像经过点（－3，－4），那么函数的图像应在（　　　）
A．第一、三象限　　　　　　 B．第一、二象限 　
C．第二、四象限　 　　　　　D．第三、四象限
3．已知y是x的反比例函数，当x=1时，y=-4，则当x=-2时ｙ=_________；
4．请画出的图像，并找出图像中的点A(1,a),B(3,b),C(-1,c),D(-2,d)；利用图像比较a和b的大小、c和d的大小。
【答案】1．B
2．A
3．6
4．图像略．a＞b,c＜d．
【设计说明】通过简单练习达到《课程标准》中相关的基本要求的同时，使学生对本章的知识结构有一个大概的了解。由于所设计的课堂延伸的内容要求较低，也有助于提高学生对本节课渴望度。
课内探究
一、导入新课：
前面已经学习了反比例函数的有关知识，今天我们一起来回顾本章内容（教师揭示课题）。通过本节课的复习，希望大家能达到以下目标（学生朗读）：
1．通过对实际问题中数量关系得探索，掌握用函数的思想去研究其变化规律．
2．结合具体情境体会和理解反比例函数的意义，并解决与它们有关的简单的实际问题
3．在知识的发现和形成过程中，强化数学的应用与建模意识，提高分析问题和解决问题的能力。
教师出示本章知识结构图。
现实世界中的反比例关系
反比例函数
实际应用
反比例函数的图象和性质

二、教师检查预习情况：明确检查方法
学生口答后论证。

三、出示本章知识点：

知识回顾：
1.反比例函数的意义；
2.反比例函数的图象与性质；
3.利用反比例函数解决实际问题．

四、通过练习，加强对知识的巩固。
（一）下列函数中，哪些是反比例函数？
（1）y=　　　　　　 　(2) y=
(3)　y=　　　　　 (4)　xy=2
(5)　y=
【参考答案】（1）（3）（4）
【设计说明】（1）把反比例函数的概念习题化，让学生从具体题目中认识反比例函数。
（2）让学生认识到反比例函数的三种表达形式。
　 变式练习：1．若 为反比例函数，则a＝______ ．
2．若为反比例函数，则m＝_______．
【参考答案】(1)a=0，(2)m=-1

（二）小组合作完成表格

k＞0
k＜0

图
像

性
质

【参考答案】
表达式
y=(k≠0)
图 象
k>0
k<0
O

O

性 质

1．图象在第一、三象限；
2．每个象限内，函数y的值随x的增大而减小．
1．图象在第二、四象限；
2．在每个象限内，函数y值随x的增大而增大．
在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x、轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2 =|k|
反比例函数图像既是轴对称图形，又是中心对称图形。

（注意性质包含的内容：所经过的象限，y随x的变化情况等。）
【设计说明】（1）让学生体会到数形结合的数学思想．
（2）通过小组合作，加强思考问题的广度。
结合表格完成练习二：
1．函数的图象在第______象限，当x<0时，y随x的增大而______
2．双曲线经过点 (－3 ，______ )．
3．函数的图象在二、四象限内，m的取值范围是______ .
4．若双曲线经过点(－3 ，2)，则其解析式是_______
5．函数与在同一条直角坐标系中的图象可能是_______：
C
x
x
x
x
x
O
O
O
O
A
B
y
y
y
y

6．已知点A(-2，y1),B(-1，y2) C(4，y3)都在反比例函数的（k>0）图象上,则y1、y2与y3的大小关系(从大到小顺序排列)为____________
【参考答案】（1）一、三；减小
（2）－
（3）m＜2
（4）
（5）D
(6)＞＞
【设计说明】（1）进一步熟悉反比例函数的图象和性质。
（2）把树形结合思想落实到具体的题目中。
（三）探索：双曲线上的点向坐标轴作垂线，此点与垂足和原点构成A
O
P
x
y
B
矩形（或三角形）的面积特征
例1．已知点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线PA
交双曲线于点A，过点A作AB⊥y轴于B点。在点P运
动过程中，矩形OPAB的面积是否发生变化？若不变，请求出其
面积；若改变，试说明理由。

【参考答案】不变。面积是2.
【设计说明】（１）让学生从反比例函数图像中找出与矩形相关的性质。使学生发现规律，并依照规律解决相关问题。
　　　　　　　　 （２）形成相关的数学模型．
x
y
O
M
P
N

变式练习：
1．如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、
y轴作垂线,若阴影部分面积为12,则这个反比例函数的
关系式是______。

2．如图所示，正比例函数y=kx(k>0)与反比例函数y=的图象
相交于A、C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连接BC．
若△ABC面积为S,则______( )
Ａ．s=1 　Ｂ．s=2 　Ｃ．1<s<2 　Ｄ．无法确定
【参考答案】（1）
（2）A

（四）综合运用
例2. 如图：一次函数的图象y=ax+b与反比例函数y=交于M(2，m)、N(-1，-4)两点.
M（2，m）
N（-1，-4）
y
x
2
0
-1
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出反比例函数的值大于
一次函数的值的x的取值范围.
（3）连结OM、ON，求△MON的面积．

【思路点拨】（1）由点N的坐标可求得反比例函数的解析式，再可求得M的坐标，由M、N两点求得一次函数的解析式。
（2）根据图像的性质可解得。
（3）设MN交y轴于点A，从而可把△MON分成△MOA和△AON。
【参考答案】（1）反比例函数，一次函数
（2）x＜-1，或0＜x＜2
(3) S=3
【设计说明】(1)让学生进一步熟悉待定系数法求函数解析式；
　　　　 (2)根据数形结合的数学思想,比较出两函数的大小；
　　　　　 (3)结合图像解决相关简单综合题．

例3．某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x(元)与日销售量y(个)之间有如下关系：
x（元）
3
4
5
6
…
y（个）
20
15
12
10
…
（1）猜想并确定在赢利的条件下y与x之间的函数关系式。
（2）设经营此贺卡的销售利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的销售价最高不能超过10元，请你求出当销售单价x定为多少时，才能使获利最大？

【思路点拨】（1）根据表中数据在平面直角坐标系中找到各点，猜想y与x的函数关系为反比例关系，并由此设出函数关系式：，由一组数据求得函数式。
　 （2）根据题意得w=(x-2)y，即w==60－
　由解析式可知x越大w越大，所以x最大时w最大。
【参考答案】（1）
（2）x=10时w最大，是48元。
【设计说明】布鲁纳认为，儿童的认知发展可以分为三个时期。一是表演式再现表象期。
二是映像式再现表象期。 三是象征式再现表象期。让学生建立数学模型解决数学问题有利于学生对知识的迁移．
（五）课堂反馈训练
1． 已知反比例函数的图像经过（1，-2），则下列各点中，在反比例函数图象上的是（ ）
A．(2,1) B．(,3) C．(-2,-1) D．(-1,2)
2. 如图,直线y=x+2 分别交x,y轴于点A,C,P是该直线上第一象限内的一点,PB ⊥x轴,B为垂足, =9.
求过P点的反比例函数的解析式.

3.在压力不变的情况下,某物体承受的压强p(Pa)是它的受力面积S()的反比例函数,其图象如图所示:
(1)求p与S之间的函数关系式;
(2)求当S＝0.5时物体承受的压强p ;
(3)求当p＝2500Pa时物体的受力面积S.
（m2）

（Pa）

A(0.25，1000)

【参考答案】1． D
2．
3．（１）
　　　　 （２）500
（３）0.1
（六）课堂小结
让学生小结本节课，小组交流本节课的收获。(本节课我们对反比例函数这一章进行了复习，重点研究了反比例函数的概念、图像和性质、应用．尤其注意数形结合思想的合理应用．)

课后提升（1-5题为必做题，第6题为选做题）
1．已知反比例函数的图象经过点P(-2,1)，则这个函数的图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
2．已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（-2，3）则m的值为　　　　　　．
O
x
y
M
P
3．已知直线与双曲线的一个交点A的坐标为（-1，-2）．则=_____；=____；它们的另一个交点坐标是______．
4．如图，若点P在反比例函数的图象上，
PM轴于点M，△PMO的面积为3，求k值

5. 心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化.开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）。
（1）求注意力指标数y与时间x（分钟）之间的函数关系式；
（2）开始学习后第5分钟时与第35分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
y
x（分）
50
30
20
A
C
D
10
O
B
第５题图
（3）某些数学内容的课堂学习大致可分为三个环节：即“教师引导，回顾旧知——自主探索，合作交流——总结归纳，巩固提高”.其中重点环节“自主探索，
合作交流”这一过程一般需要30分钟才能完成，为了
确保效果，要求学习时的注意力指标数不底于40。
请问这样的课堂学习安排是否合理？并说明理由。

【选做题】6.（1）如图（1）,A、C分别是反比例函数y＝图象上两点。若Rt△AOB与Rt△COD的面积分别为S1,S2,则S1与S2的大小关系是( )
A.S1>S2 B.S1=S2； C.S1<S2 D.不能确定
（2）如图（2），A，B是函数y＝的图像上关于原点0对称的任意两点，AC平行于y轴，BC平行于x轴，设三角形ABC面积为S，则( )
A.S＝1 B.1＜S＜2 C.S＝2 D.S＞2
（3）如图（3），A，B是函数y＝的图像上关于原点0对称的任意两点，AP平行于y轴，交x轴于点P，BH平行于y轴，交x轴于点H，证明四边形AHBP面积为定值。

〖参考答案〗（1）C
(2) －6
(3) 2，2，(1，2)
（4）－6
（5）①0≤x≤10时，y=3x+20
10＜x≤30时，y=50
x＞30时，y=
②x=5时y=35；x=35时y=，
所以第35分钟时注意力更集中些。
③因为＞30，合理
（6）① B
② C
③根据对称性可知A、B两点关于原点成中心对称，四边形AHBP为平行四边形，四边形AHBP面积为定值是2。