九年级数学下册 26 二次函数小结与复习题（一）教案 （新版）华东师大版-（新版）华东师大版初中九年级下册数学教案.doc

26章小结与复习题（一）
教学内容：课本P31~32
教学目标
1、形成二次函数的知识结构，能够根据知识结构解读知识要点；
2、形成二次函数的方法体系；
教学重难点
重点：形成二次函数的知识结构，能够根据知识结构解读知识要点；
难点：形成二次函数的方法体系；
教学准备：课件
教学方法：讲练法
教学过程
一、展示知识结构

二、解读知识点
（一）知识点一：二次函数的解析式
1、定义：一般要，形如 的函数，叫做二次函数。
2、二次函数的解析式
（1）一般式： ；其中二次函数的对称轴是 ，顶点坐标是 ；
（2）顶点式： ；其中二次函数的对称轴是 ，顶点坐标是 ；
（3）交点式： ；其中二次函数的对称轴是 ，顶点坐标是 ；
3、利用图象平移求解析式
（1）平移条件：两个二次函数的a相等，就可以通过平移其中一个函数图象得到另一个函数图象。
（2）平移方法：先把一般式转换成顶点式，再确定顶点坐标，最后按要求平移顶点。
（3）平移规律：h满足正右移，负左移；k满足正上移，负下移。即左加右减，上加下减。
（二）知识点二：二次函数的图象及性质

a>0
a<0
图象

开口

对称轴

顶点坐标

增
减
性
在对称轴左侧

在对称轴右侧

最值

（三）知识点三：二次函数与一元二次方程的关系
1、当△>0时，抛物线与x轴有2个交点，两个交点的横坐标就是一元二次方程的两个不相等的实数根。
2、当△＝0，抛物线与x轴有1个交点，交点是顶点，一元二次方程有两个相等的实数根；
3、当△<0时，抛物线与x轴没有交点，一元二次方程没有初数根。
（四）知识点四：二次函数的图象与字母a、b、c之关系。
（1）抛物线开口向上，a>0，开口向下，a<0；
（2）对称轴在y轴左侧，a,b同号；对称轴在y轴右侧，a,b异号；对称轴在y轴，b＝0.简记：左同右异中间0.
（3）抛物线与y轴的交点在x轴上方，c>0，抛物线与y轴交点在x轴下方，c<0，抛物线与y轴交点在原点，c＝0.简记：上正下负中间0.
（4）判断2a-b与0的关系，需比较对称轴与－1的大小；判断2a+b与0的关系，需比较对称轴与1的大小；
（5）判断a+b+c与0的关系，需看x=1时，函数值与0的大小；判断a-b+c与0的关系，需看x=-1时，函数值与0的大小。判断4a+2b+c与0的关系，需看x=2时，函数值与0的大小；判断4a-2b+c与0的关系，需看x=-2时，函数值与0的大小。依次类推。
（6）判断两点的纵坐标的大小，根据两点到对称轴的距离以及二次函数的性质比较。
三、典型例题
例1、已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=cx+与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是（ ）

A． B． C
分析：先根据二次函数的图象得到a＞0，b＞0，c＜0，再根据一次函数图象与系数的关系和反比例函数图象与系数的关系判断它们的位置．
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴一次函数y=cx+的图象过第一、二、四象限，反比例函数y=分布在第一、三象限．
故选：D．
例2、如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=x2+bx+c的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数是（ ）

A． 0或2 B．0或1 C．1或2 D． 0，1或2
分析：分三种情况：点M的纵坐标小于1；点M的纵坐标等于1；点M的纵坐标大于1；进行讨论即可得到方程x2+bx+c=1的解的个数．
解：分三种情况：
点M的纵坐标小于1，方程x2+bx+c=1的解是2个不相等的实数根；
点M的纵坐标等于1，方程x2+bx+c=1的解是2个相等的实数根；
点M的纵坐标大于1，方程x2+bx+c=1的解的个数是0．
故方程x2+bx+c=1的解的个数是0，1或2．
故选：D．
例3、若二次函数y=a1x2+b1x+c1的图象记为C1，其顶点为A，二次函数y=a2x2+b2x+c2的图象记为C2，其顶点为B，且满足点A在C2上，点B在C1上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”．
（1）一个二次函数的“伴侣二次函数”有 个；
（2）①求二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点；
②求以上述交点为顶点的二次函数y=x2+3x+2的“伴侣二次函数”．
（3）试探究a1与a2满足的数量关系．
分析：（1）根据伴侣二次函数的定义，可得答案；
（2）①根据函数值为0，可得函数与x轴的交点的横坐标就是，可得答案；②根据伴侣二次函数的定义，顶点坐标，可得伴侣二次函数；
（3）根据伴侣二次函数的顶点在对方的图象上，二元一次方程组，根据解方程组，可得答案．
解：（1）无数；
（2）①令y=0，即x2+3x+2=0．
解得：x1=﹣1，x2=﹣2．
∴二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（﹣1，0）． （3分）
②∵y=x2+3x+2=（x+）2﹣∴顶点坐标为（﹣，﹣）．
设以（﹣2，0）为顶点且经过（﹣，﹣）的抛物线的函数关系式为
y=a（x+2）2，
将x=﹣，y=﹣代入y=a（x+2）2得 a=﹣1．
∴二次函数y=x2+3x+2的一个“伴侣二次函数”为
y=﹣（x+2）2=﹣x2﹣4x﹣4，
同理可求以（﹣1，0）为顶点且经过（﹣，﹣）的抛物线的函数关系式．
即二次函数y=x2+3x+2的另一个“伴侣二次函数”为
y=﹣（x+1）2=﹣x2﹣2x﹣1；
（3）设y=a1（x+m）2+n，其顶点为（﹣m，n）；
y=a2（x+h）2+k，其顶点为（﹣h，k）．
根据“伴侣二次函数”定义可得
∴a1（﹣h+m）2=﹣a2（﹣m+h）2．
当﹣h≠m时，a1=﹣a2
当﹣h=m时，a1、a2为任意不为零的实数．
例4、如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上的一个动点，求使：5 ：4的点P的坐标

解：（1）直线与坐标轴的交点A（3，0），B（0，－3）．
则 解得 所以此抛物线解析式为．
（2）抛物线的顶点D（1，－4），与轴的另一个交点C（－1，0）.
设P，则.
化简得, 当＞0时，得
∴P（4，5）或P（－2，5）
当＜0时，即，此方程无解．
综上所述，满足条件的点的坐标为（4，5）或（－2，5）．
四、课堂练习
课本P32页第1、2题；

五、小结
1、学生小结
2、教师小结：本节课构建了二次函数的知识结构，围绕知识结构详细解读了知识点。
六、作业设计
1、课本P32页第4、5题；
小结与复习题
2、课本P33页第8、9题；
七、板书设计
四、练习
三、典型例题
二、知识点解读
一、知识结构

八、反思