资源描述
二次函数的图象与性质
教学内容
26.2 二次函数的图象与性质（1）
本节共需7课时
本课为第1课时
主备人：
教学目标
会用描点法画出二次函数的图象，概括出图象的特点及函数的性质
教学重点
通过画图得出二次函数的特点
教学难点
识图能力的培养
教具准备
坐标小黑板一块
课型
新授课
教学过程
初 备
统 复 备
情境导入
我们已经知道，一次函数，反比例函数，的图象分别是 、 ，那么二次函数的图象是什么呢？
（1）描点法画函数的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x取互为相反数的值时，y的值如何？
（2）观察函数的图象，你能得出什么结论？
实践与
探索1
例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？
（1） （2）
共同点：都以y轴为对称轴，顶点都在坐标原点．
不同点：的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．
注意点：
在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接．
实践与探索2
例2．已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2．
（1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；
（2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长；
（3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2．
分析：此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内．
解：（1）由题意，得．
列表：
C
2
4
6
8
…
S
…
描点、连线，图象如图26．2．2．
（2）根据图象得S=1 cm2时，正方形的周长是4cm．
（3）根据图象得，当C≥8cm时，S≥4 cm2．
注意点：
（1）此图象原点处为空心点．
（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y．
（3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分．
小结与作业
课堂小结：
通过本节课的学习你有哪些收获？
课堂作业：
练习1～4
教学后记：
教学内容
26．2 二次函数的图象与性质（2）
本节共需7 课时
本课为第2课时
主备人：
教学目标
会画出这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．
教学重点
通过画图得出二次函数的性质
教学难点
识图能力的培养
教具准备
投影仪，胶片
课型
新授课
教学过程
初 备
统 复 备
情境导入
同学们还记得一次函数与的图象的关系吗？
你能由此推测二次函数与的图象之间的关系吗？ ，那么与的图象之间又有何关系？ ．
实践与
探索1
例1．在同一直角坐标系中，画出函数与的图象．
解：列表．
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
18
8
2
0
2
8
18
…
…
20
10
4
2
4
10
20
…
描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．3．
回顾与反思：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？
探索 观察这两个函数图象，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有哪些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数与的图象之间的关系吗？
实践与
探索2
例2．在同一直角坐标系中，画出函数与的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线．
回顾与反思 抛物线和抛物线分别是由抛物线向上、向下平移一个单位得到的．
探索 如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移？
小结
与作业
课堂小结：
本节课你的收获有哪些？（函数与图像的关系。）
课堂作业：
一条抛物线的开口方向、对称轴与相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．
教学后记：
教学内容
26．2 二次函数的图象与性质（3）
本节共需7课时
本课为第3课时
主备人：
教学目标
会画出这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质
教学重点
通过画图得出二次函数的性质
教学难点
识图能力的培养
教具准备
投影仪，胶片
课型
新授课
教学过程
初 备
统 复 备
情境导入
我们已经了解到，函数的图象，可以由函数的图象上下平移所得，那么函数的图象，是否也可以由函数平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？
实践与
探索1
例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
， ，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解：列表．
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
2
0
2
…
…
0
2
8
…
…
8
2
0
…
描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5．
它们的开口方向都向上；对称轴分别是y轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是（0，0），（-2，0），（2，0）．
探索 抛物线和抛物线分别是由抛物线向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移？
实践与
探索2
1．画图填空：抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线向 平移 个单位得到的．
2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
， ，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
小结
与作业
回顾与反思 ：
1、二次函数与图像之间的关系。
2、对于抛物线，当x 时，函数值y随x的增大而减小；当x 时，函数值y随x的增大而增大；当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．
课堂作业
1．不画出图象，请你说明抛物线与之间的关系．
2．将抛物线向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点（1，3），求的值．
教学后记
教学内容
26．2 二次函数的图象与性质（4）
本节共需7课时
本课为第4课时
主备人：
教学目标
1．掌握把抛物线平移至+k的规律；
2．会画出+k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．
教学重点
通过画图得出二次函数的性质
教学难点
识图能力的培养
教具准备
投影仪，胶片
课型
新授课
教学过程
初 备
统复备
情境导入
由前面的知识，我们知道，函数的图象，向上平移2个单位，可以得到函数的图象；函数的图象，向右平移3个单位，可以得到函数的图象，那么函数的图象，如何平移，才能得到函数的图象呢？
实践与
探索1
例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
，，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解 （1）列表：略
（2）描点：
（3）连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．6所示．
观察：
它们的开口方向都向 ，对称轴分别为 、 、 ，顶点坐标分别为 、 、 ．
请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．
探索 你能说出函数+k（a、h、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
实践与
探索2
+k
开口方向
对称轴
顶点坐标
填表：
小结
与作业
回顾与反思：
二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数+k中k的值；左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．
课堂作业：
把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，求b，c的值．
教学后记
教学内容
26．2 二次函数的图象与性质（5）
本节共需7课时
本课为第5课时
主备人：
教学目标
1．能通过配方把二次函数化成+k的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；
2．会利用对称性画出二次函数的图象．
教学重点
通过画图得出二次函数的性质
教学难点
识图能力的培养、配方法
教具准备
多媒体课件 （几何画板4.06）
课型
新授课
教学过程
初 备
统 复 备
情境导入
由前面的知识，我们知道，函数的图象，向上平移2个单位，可以得到函数的图象；函数的图象，向右平移3个单位，可以得到函数的图象，那么函数的图象，如何平移，才能得到函数的图象呢？
实践与
探索1
例1．通过配方，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．
解
因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）．
由对称性列表：
注意点：（1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到；（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．
探索：对于二次函数，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？
实践与
探索2
例2．已知抛物线的顶点在坐标轴上，求的值．
分析：顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在y轴上，则顶点的横坐标等于0．
小结
与作业
回顾与反思：
二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数+k中k的值；左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．
课堂作业：
1．当时，求抛物线的顶点所在的象限．
2. 已知抛物线的顶点A在直线上，求抛物线的顶点坐标．
教学后记：
教学内容
26．2 二次函数的图象与性质（6）
本节共需7课时
本课为第6课时
主备人：
教学目标
1．会通过配方求出二次函数的最大值或最小值；
2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大值或最小值．
教学重点
会通过配方求出二次函数的最大值或最小值.
教学难点
在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大值或最小值．
教具准备
投影仪，胶片
课型
新授课
教学过程
初 备
统 复 备
情境导入
在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？
在这个问题中，设每件商品降价x元，该商品每天的利润为y元，则可得函数关系式为二次函数．那么，此问题可归结为：自变量x为何值时函数y取得最大值？你能解决吗?
实践与
探索1
例1．求下列函数的最大值或最小值．
（1）；
（2）．
分析：由于函数和的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值．可通过配方法实现．
（解：（1）二次函数
当时，函数有最小值是．
（2）二次函数
当时，函数有最大值是）
探索 试一试，当2．5≤x≤3．5时，求二次函数的最大值或最小值．
实践与
探索2
例2．某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表：
x（元）
130
150
165
y（件）
70
50
35
若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？
分析：日销售利润=日销售量×每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量．
小结
与作业
回顾与反思
最大值或最小值的求法，第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．
课堂作业：
如图26．2．8，在RtABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y．
（1）用含y的代数式表示AE；
（2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值．
教学后记：
教学内容
26 . 2 二次函数的图象与性质（7）
本节共需7课时
本课为第7课时
主备人：
教学目标
会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式
教学重点
会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式
教学难点
在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的实际问题
教具准备
投影仪，胶片
课型
新授课
教学过程
初 备
统 复 备
情境导入
一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如，我们在确定一次函数的关系式时，通常需要两个独立的条件：确定反比例函数的关系式时，通常只需要一个条件：如果要确定二次函数的关系式，又需要几个条件呢？
实践与
探索1
例1．某涵洞是抛物线形，它的截面如图26．2．9所示，现测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？
分析：如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是．此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式.
解：由题意，得点B的坐标为（0．8，-2．4）.
又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入，得，所以 ．
因此，函数关系式是．
实践与
探索2
例2．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
（1）已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）；
（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y轴交于点（0，1）；
（3）已知抛物线与x轴交于点（-3，0）、（5，0），且与y轴交于点（0，-3）；
（4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x轴两交点间的距离为4．
分析：（1）根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为的形式；（2）根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；（3）根据抛物线与x轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；（4）根据已知抛物线的顶点坐标（3，-2），可设函数关系式为，同时可知抛物线的对称轴为x=3，再由与x轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x轴的两个交点为（1，0）和（5，0），任选一个代入，即可求出a的值．
小结
与作业
回顾与反思：
确定二次函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：
（1）一般式：，给出三点坐标可利用此式来求．
（2）顶点式：，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．
课堂作业：
根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
(1)已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；
（2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；
（3）已知抛物线与x轴交于点M（-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）．
教学后记
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