九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 第3节 正方形的性质与判定（第1课时）教案 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中九年级上册数学教案.doc

第一章《特殊平行四边形》
《正方形的性质与判定》(第1课时)
【教学目标】
1.知识与技能
了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质定理．
2.过程与方法
经历探索正方形有关性质的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法．
3.情感态度和价值观
培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值．
【教学重点】
探索正方形的性质定理．
【教学难点】
掌握正方形的性质的应用方法．
【教学方法】
合作、探究
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
一、 复习回顾
(1)平行四边形有哪些性质?矩形与平行四边形比较有哪些特殊的性质?菱形的性质有哪些呢？
让学生分别从边、角、对角线等方面回忆它们的性质.
二、探究新知
1.正方形的定义
活动1：
满足什么条件的菱形是正方形？

有一个角是直角
90°
┓

问题: 从这个图形中你能得到什么？你是怎样想到的？
当=90°时,这个四边形还是菱形,但它是特殊的菱形是一个内角为直角的菱形也是正方形.
定义1.有一个角是直角的菱形叫做正方形。
活动2：满足什么条件的矩形是正方形？
邻边相等

定义2.邻边相等的矩形叫做正方形。
活动3：满足什么条件的平行四边形是正方形？

邻边相等且有一个角是直角

定义3.有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
正方形在生活中随处可见，你能举出一些生活中正方形的例子吗？与同伴交流。

2.正方形的性质：
活动4.
正方形是矩形吗？正方形是菱形吗？
正方形既是矩形，也是菱形，它具有矩形和菱形的所有性质。
1.对称性：
正方形是中心对称图形,对称中心为点O，它也是轴对称图形,有4条对称轴.
2. 性质：
(1) 它具有平行四边形的一切性质：两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分.
(2) 具有矩形的一切性质：四个角都是直角，对角线相等.
(3) 具有菱形的一切性质：四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角.
活动5：
证明定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等。
已知：正方形ABCD，求证:AB=BC=CD=AD ,∠A=∠B=∠C=∠D.
分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证.
证明:∵四边形ABCD是正方形
∴四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=AD ,
∵四边形ABCD是正方形
∴四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=∠C=∠D.
证明定理：正方形的对角线相等且互相垂直.
已知ABCD是正方形，AC、BD分别是正方形的两条对角线，且交于点O，求证：AC=BD，AC⊥BD.
证明：∵ABCD是正方形,
∴AB=CD,∠ABC=∠DCB,
∵BC=BC.
∴ΔABC≌ΔDCB,
∴AC=BD.
∵OB=OD,AB=AD,OA=OA,
∴ΔAOB≌ΔAOD,
∴∠AOB=∠AOD,
又∠AOB+∠AOD=90°,
∴∠AOB=90°,
∴AC⊥BD,
即对角线互相垂直且相等.
三、 例题讲解
例1．正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O，且AB＝2cm，则AC=_______.
解析：∵四边形ABCD是正方形
∴BC=AB=2,∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，.
例2.已知正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AC=10,P是AB上一点,PE⊥AC于E，PF⊥BD于F,则PE+PF=______________.
分析：由正方形的性质可推理出PE=AE，PF=OE，PE＋PF＝OA.
解：∵ABCD是正方形
∴AO=AC=5 ,∠BAC=45°,AC⊥BD 又∵PE⊥AC, PF⊥BD
∴四边形PEOF为矩形
∴PF=OE
∴ 在△APE中,∠PAE=45°
∴AE=PE
∴PE+PF=AE+OE=AO=5.
例3：如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
分析：(1)由正方形的性质得到∠BCD=∠DCF=90°，BC=CD，结合CE=CF，可证△BCE≌△DCF，从而有BE=CF;
(2)延长BE交DE于点M,由全等可知∠CBE=∠CDF，借助等量代换得到∠BMF=90°，从而有BE⊥CF.
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
（1）∵四边形ABCD是正方形.
∴BC=DC,∠BCE=90°
∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.
∴∠BCE=∠DCF.
又∵CE=CF.
∴△BCE≌△DCF.
∴BE=DF.
(2)如图，延长BE交DE于点M，
∵△BCE≌△DCF.
∴∠CBE=∠CDF.
∵∠DCF=90°.
∴∠CDF+∠F=90°.
∴∠CBE+∠F=90°.
∴∠BMF=90°.
∴BE⊥DF.
四、巩固练习：
1.判断题：
（1）四个角都相等的四边形是正方形. （ × ）
(2)四条边都相等的四边形是正方形. （ × ）
（3）对角线相等的菱形是正方形. ( √ )
(4)对角线互相垂直的矩形是正方形. （ √ ）
（5）对角线垂直相等的四边形是正方形. ( × )
(6)四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形. ( √ )
2.以正方形ABCD的一边DC向外作等边△DCE,
则∠AEB=_____.
解∵四边形ABCD是正方形,△CDE是等边三角形
∴∠BCE=90+60=150°,CB=CE
∴∠CEB=15°
同理∠AED=15°
∴∠AEB=60-15-15=30°
3.正方形ABCD中，M为AD中点，ME⊥BD于E，MF⊥AC于F,若ME+MF =8cm，则AC=________.
提示：AC=2OA=2(ME+MF)=16cm.
4.如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F。试说明：AP=EF
解：连接PC
∵PE⊥BC ， PF⊥DC
而四边形ABCD是正方形
∴∠FCE=90°
∴四边形PECF是矩形
∴PC=EF
又∵四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形
∴AP=PC
∴AP=EF
5.正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，且CE=AC, AE交DC于点F,试求∠E, ∠AFC的度数
解：∵正方形ABCD的四个角均为直角，且对角线平分一组对角

∵CE=AC
∴∠E=∠CAE
∵∠ABC是△ACE的一个外角
∴∠ACB=∠E+∠CAE=2∠E

∵∠AFC是△CEF的一个外角
∴∠AFC=∠E+∠FCE=22.5°+90°=112.5°
∴∠E=22.5°, ∠AFC=112.5°
五、课堂总结
正方形既是菱形，又是矩形，因此正方形有下列性质：
1.正方形的四条边都相等，四个角都是直角
2.正方形的对角线相等，且互相垂直平分；每条对角线平分一组对角．
3.正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
4.正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组中点的直线都是它的对称轴.
六、作业布置
1.习题1.7：知识技能第2，3两题
2.预习第二课时.
【板书设计】
§1.3 正方形的性质与判定(1)
正方形的定义：
正方形的性质定理：
1.
2.
例1

例2
【教学反思】
本节课由回忆平行四边形、矩形、菱形的性质引入正方形的概念，从而板书课题，演示让学生观察得正方形的3中定义方法，在掌握定义的基础上探究并证明正方形的性质，然后学习正方形性质的应用。同时，也为知识间的迁移作了伏笔。《课标》强调学生数学学习的过程是建立在经验基础上的一个主动建构的过程。注重数学思想方法，让学生受到数学思想的熏陶与启迪。这节课在教学过程中渗透了“变与不变”、转化、数形结合等数学思想。通过课堂检测，当堂评价学生，了解学生学习效果。