八年级数学下册 第十八章 平行四边形 18.2 特殊的平行四边形 18.2.3 正方形教案 （新版）新人教版-（新版）新人教版初中八年级下册数学教案.doc

18.2.3　正 方 形
【教学目标】
知识与技能:
1.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形概念之间的联系和区别.
2.能用正方形的定义、性质和判定进行推理与计算.
过程与方法:
经历探索正方形有关性质、判定重要条件的过程.在观察中寻求新知,在探索中发展推理能力,逐步掌握说理的基本方法.
情感态度与价值观:
通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的学习,渗透了辩证唯物主义教育,提高了逻辑思维能力.
【重点难点】
重点:理解正方形与矩形、菱形的关系.掌握正方形的性质和判定.会用正方形的性质和判定进行计算或证明.
难点:会用正方形的性质和判定进行计算或证明.
【教学过程】
一、创设情境,导入新课:
　做一做:用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形.

学生在动手操做中对正方形产生感性认识,并感知正方形与矩形的关系.问题:什么样的四边形是正方形?
你能说出正方形的定义吗?正方形具有什么性质,怎样判定一个四边形或平行四边形是正方形呢?这一节课我们就来探究.
二、探究归纳
活动1:正方形的定义:
1.复习:(1)什么是四边形?它有什么性质?
(2)什么是平行四边形?它有什么性质?如何判定?
(3)什么是矩形?它有什么性质?如何判定?
(4)什么是菱形?它有什么性质?如何判定?
2.正方形定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
教师引导学生明确:正方形是在平行四边形这个大前提下定义的,其定义包括了两层意思:

正方形既是矩形又是菱形.

活动2:正方形的性质:
1.探索:由正方形的定义可以得知,正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形.

所以,正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质.
2.归纳、总结:
因为正方形是特殊的平行四边形,还是特殊的矩形,特殊的菱形,所以它具有这些图形性质的综合,(从角、边、对角线上归纳总结)
(1)正方形性质定理1:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.
(2)正方形性质定理2:正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角.
3.正方形的性质也可表示为:
(1)边:正方形的对边平行,四条边都相等.
(2)角:正方形的四个角都是直角.
(3)对角线:正方形的对角线相等且互相垂直平分.
(4)正方形是轴对称图形,也是中心对称图形.
活动3:正方形的判定:
1.正方形的判定方法:
方法1:定义:①是平行四边形②有一组邻边相等③有一个角是直角,是正方形.
方法2:①是矩形②是菱形,是正方形.
2.正方形的判定方法也可细分为:
(1)有一组邻边相等的矩形是正方形.
(2)有一个角是直角的菱形是正方形.
(3)有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
(4)四条边相等、四个角都是直角的四边形是正方形.
(5)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
活动4:例题讲解:
【例1】　如图,正方形ABCD中,E,F分别为BC,CD上的点,且AE⊥BF,垂足为点G.

求证:AE=BF.
分析:根据正方形的性质,可得∠ABC与∠C的关系,AB与BC的关系,根据两直线垂直,可得∠AGB的度数,根据直角三角形锐角的关系,可得∠ABG与∠BAG的关系,根据同角的余角相等,可得∠BAG与∠CBF的关系,根据ASA,可得三角形全等,根据全等三角形的性质,可得答案.
解:∵正方形ABCD,∴∠ABC=∠C,AB=BC.
∵AE⊥BF,∴∠AGB=90°,∴∠ABG+∠BAG=90°,
∵∠ABG+∠CBF=90°,∴∠BAG=∠CBF.
在△ABE和△BCF中,
,
∴△ABE≌△BCF(ASA),∴AE=BF.
总结:正方形的性质的应用:正方形的四个角都是直角,四条边都相等,对角线相等且互相垂直平分.正方形的对边平行且相等.利用这些性质可证明边角相等.
【例2】　如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,点O为AB的中点,连接DO并延长到点E,使OE=OD,连接AE,BE,

(1)求证:四边形AEBD是矩形.
(2)当△ABC满足什么条件时,矩形AEBD是正方形,并说明理由.
分析:(1)利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形,再利用等腰三角形的性质得出∠ADB=90°,即可得出答案.
(2)利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD,进而利用正方形的判定得出即可.
【证明】(1)∵点O为AB的中点,OE=OD,∴四边形AEBD是平行四边形,
∵AB=AC,AD是△ABC的角平分线,∴AD⊥BC,
∴四边形AEBD是矩形.
(2)当△ABC是等腰直角三角形时,矩形AEBD是正方形,
∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠BAD=∠CAD=
∠DBA=45°,∴BD=AD.
由(1)知四边形AEBD是矩形,
∴四边形AEBD是正方形.
总结:判定正方形的一般思路:要证明一个四边形是正方形,只要证明这个四边形既是矩形又是菱形即可,搞清矩形、菱形、正方形之间的关系,有助于寻找证明思路.它们之间的关系可以用下图表示.

三、交流反思
　这节课我们学习了正方形的定义、性质和判定,注意弄清正方形与平行四边形、矩形、菱形之间有什么联系与区别?它有什么性质?怎样判定?
四、检测反馈
1.正方形是轴对称图形,它的对称轴共有 (　　)
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
2.下列说法不正确的是 (　　)
A.有一个角是直角的菱形是正方形
B.两条对角线相等的菱形是正方形
C.对角线互相垂直的矩形是正方形
D.四条边都相等的四边形是正方形
3.如图,正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,则图中的等腰直角三角形有
(　　)
A.4个 B.6个 C.8个 D.10个

4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF.添加一个条件,仍不能证明四边形BECF为正方形的是 (　　)
A.BC=AC B.CF⊥BF
C.BD=DF D.AC=BF
5.如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,对角线AC与BD相交于点O,若不增加任何字母与辅助线,要使四边形ABCD是正方形,则还需增加一个条件是________. 

6.如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,请你添加一个条件:________ ,使得该菱形为正方形. 

7.如图,在正方形ABCD中,点M是对角线BD上的一点,过点M作ME∥CD交BC于点E,作MF∥BC交CD于点F.求证:AM=EF.

8.如图,在正方形ABCD中,G是DC上的任意一点,(G与D,C两点不重合),E,F是AG上的两点(E,F与A,G两点不重合),若AF=DF+EF,∠1=∠2,请判断线段DF与BE有怎样的位置关系,并证明你的结论.

9.平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O点,分别过顶点B,C作两对角线的平行线交于点E,得平行四边形OBEC.
(1)如果四边形ABCD为矩形(如图),四边形OBEC为何种四边形?请证明你的结论.
(2)如果四边形ABCD是正方形,四边形OBEC也是正方形吗?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.

五、布置作业
教科书第62页习题18.2第13,15题
六、板书设计
18.2.3　正方形
一、正方形的定义
二、正方形的性质
(1)边:正方形的对边平行,四条边都相等.
(2)角:正方形的四个角都是直角.
(3)对角线:正方形的对角线相等且互相垂直平分.
(4)正方形是轴对称图形,也是中心对称图形.
三、正方形的判定方法
四、例题讲解　　五、板演练习
七、教学反思
　　本节课的认识起点是:已积累了几何中平行四边形、矩形、菱形等知识,在取得一定的经验的基础上,认识正方形. 本节课采用了学生自导自主的学习方法,流程为“合作探究,导入新课——实践应用,探究新知——继续探究,学习新知——随堂练习,巩固深化——课堂总结,发展潜能——布置作业,专题突破”.学习过程中学生采用合作交流、发现、归纳的方式来解决重点问题,突破难点,特别是在交流中体现出了“兵教兵、兵练兵”,这样充分地调动了学生的学习积极性,体现了自主意识,讨论交流比较热烈,大大提高了学生的学习兴趣.
　　本节小结时,采用表格形式把平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质让学生进行了对比,在对比中学生更能清楚的认识到他们之间的区别与联系,加深了印象.