资源描述
课案（教师用）
5.1.2 垂线（2）
（新授课）
【理论支持】
美国教育心理学家霍华德•加德纳提出的多元智能理论认为，个体身上独立存在着与特定的认知领域知识范畴相对较小的多种智能，如语言智能、逻辑数学智能、空间智能、肢体运动智能、音乐智能、内省智能、自然探索智能、其他类型智能，等等.多元智能理论强调，人类智能是多元而非单一的，每个人都有独特的智能结构和智能优势，每个人的学习方式都是独特的，所以一个人不可能学会所有的东西.多元智能理论有助于转变我们的教学观，做到因材施教，有助于形成正确的评价观，注重对不同人的不同智能的培养；有助于转变我们的学生观，多方面了解学生特长，并相应地采取适合其特点的教学方法，使学生的特长达到充分的发展；有助于形成正确的发展观，让学生在接受学校教育的同时，发现自己至少有一个方面的长处，热切追求其自身内在的兴趣.
垂线段的概念和垂线段最短的性质，是定义“点到直线距离”这个概念的依据．由于从直线外一点到这条直线的垂线是唯一的，又由垂线段最短，它的长度也是唯一的，因此保证了点到直线距离的唯一性．教学时要特别注意区别“垂线段”和“垂线段的长度”．前者是一个图形，而后者则是一个数量．要强调点到直线距离是一个数量，是指该点到直线的垂线段的长度，而不是垂线段．要注意纠正学生“作出点到直线的距离”这类错误．建立了点到直线的距离这个概念之后，我们可对学生指出：在几何中借助于两点间的距离，我们可以用数值(线段的长度〕精确地刻划两个点相互位置关系；借助于角，我们可以用数值(角的大小)精确地刻划两条相交直线的相互位置关系；借助于点到直线的距离，我们可以借助于数值精确地刻划一个点和一条直线相互位置关系．
总之，通过本节课的研究，旨在让学生体会到数学与实际生活的密切联系，经历知识的形成过程，培养学生的应用意识.教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验，体验到数、符号和图形是有效地描述现实世界的重要手段与解决实际问题的重要工具.
知识技能
了解垂线段的概念；理解“垂线段最短”的性质；体会点到只限的距离的意义．
数学思考
经历观察、分析、概括、论述的学习过程，培养学生逻辑思维能力以及推理能力．
解决问题
通过探索垂线的性质，能解决生活中的垂线问题．
情感态度
让学生体会生活中的数学, 激发学生学习兴趣.
【教学目标】
【教学重难点】
1. 重点：“垂线段最短”的性质,点到直线的距离的概念及其简单应用．
2. 难点：理解点到直线的距离的概念．
【课时安排】
一课时
【教学设计】
课前延伸
一、基础知识填空
1．点到直线的距离是指（ ）
A．直线外一点到这条直线的垂线的长度
B．直线外一点到这条直线上任意一点的距离
C．直线外一点到这条直线的垂线段
D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度
2．和一个已知点P的距离等于3㎝的直线可以画（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
3．P为直线l外一点，A、B、C为直线l上三点，PA＝5㎝，PB＝3㎝，PC＝4㎝，则点P到直线l的距离为（ ）
A．4㎝ B．3㎝ C．小于3㎝ D．不大于3㎝
4．如图，若把水渠中的水引到水池C，挖一条沟CD垂直于渠岸AB，垂足为D，这时沟CD最短，这时根据_________________________.
5．如图，已知直线AD、BE、CF相交于O，OG⊥AD，且∠BOC＝35°，∠FOG＝30°．则∠DOE＝________．
C
30°
35°
A
B
D
E
F
G
〖参考答案〗
1．D 2．D 3．D 4．垂线段最短 5．25°
〖设计说明〗心理学认为：认知从感知开始，感知是认知的门户，是一切知识的来源.让学生进行简单的模仿，从感性上初步认识垂线段最短的性质，点到直线的距离．
课内探究
一、导入新课：
活动1如图是小凡同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是线段____ ___的长度．
〖设计说明〗举出这样的实际例子，通过学生熟悉的体育活动引入，自然而贴切，容易激发学生的学习兴趣．
二、探究新知：
活动2教师提出问题：
（1）如图，在灌溉时需要把河AB中的水引到C处，如何挖渠能使渠道最短？
（2）从上述探究过程中你能发现什么结论？
教师活动：适时地给出概念：（1）垂线段：垂线上一点到垂足的线段；（2）点到直线的距离：点到直线垂线段的长度．学生可以自主探究，先在直线AB上任取一些点，连接此点和C，可以发现CD最短，此时CD⊥AB,于是找到挖渠方案．
学生归纳：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．即：垂线段最短．
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
〖设计说明〗举出这样的实际例子，让学生思考，体会数学来源于实际．让学生自己动手画图，测量，自己总结得出结论，体会垂线段最短的性质，结合图形指出点到直线的距离，学生通过独立思考以及观察中的情况，自主探索发现在图形中存在的规律，进而进行归纳总结，培养学生自主学习的能力．
A
B
D
三、初步应用：
活动3
1．下列说法正确的是（ ）
（A）线段AB叫做点B到直线AC的距离.
C
（B）线段AB的长度叫做点A到直线AC的距离
（C）线段BD的长度叫做点D到直线BC的距离
（D）线段BD的长度叫做点B到直线AC的距离
2．如图，一辆汽车在直线形公路AB上由A地开往B地，M、N是分别位于公路两侧的村庄．
设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到Q点时，距离村庄N最近，请在图中的公路AB上分别画出点P和点Q的位置；
当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段，距离M、N两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离M越来越远？
〖参考答案〗1．D 2．对于问题，当汽车距离M最近时，相当于过M画直线AB的垂线，垂足就是P点，同理，过N点画直线AB的垂线，垂足就是Q的位置；对于问题，可以通过图形观察发现，当处于AP路段时距离两村都越来越近，在处于PQ路段时距离M越来越远、距离N越来越近．
〖设计说明〗学生在探索的过程中会遇到困难出现问题，通过合作学习加以解决，本问题的解决，再一次让学生体会：数学与生活的密切联系；学生的作图能力的训练；垂线段最短的知识；两点之间距离的定义；解决实际问题的能力．本设计的补充例题，让学生充分动脑动手，自主探索，合作交流，改变学生被动接受的学习方式．
四、课堂反馈训练：
1．如图，已知ON⊥A，OM⊥A，所以OM与ON重合的理由是（ ）
A．过两点只有一条直线
B．在同一平面内，经过一点有且只有一条线段垂直于已知直线
C．在同一平面内，过一点只能作一条垂线
D．垂线段最短
2．如图，P为直线l外一点，点A、B、C在直线l上，且PB⊥l，垂足为B，∠APC＝90°，则错误的语句是（ ）
A．线段PB的长度叫做点P到直线l的距离
B．PA、PB、PC三条线段中，PB最短
C．线段AC的长等于点P到直线l的距离
D．线段PA的长叫做点A到直线PC的距离
第1题 第2题 第3题
3．如图所示，图中已标注了三组互相垂直的线段，那么A到BC的距离是________；B到AC的距离是_______；C到AD的距离是________．
4．如图，点A表示小明家，点B表示小明外婆家，若小明先去外婆家拿鱼具，然后再去河边钓鱼，怎样走路最短，请画出行走路径，并说明理由、
5．如图OB⊥OA，直线CD过点O，且∠DOB＝110°，求∠AOC的度数．
6．如图，直线AB与直线CD相交于O，OE平分∠AOD，∠BOC＝∠BOD－30°，求∠COE的度数?
〖参考答案〗1.B 2.C 3. 线段AD的长，线段BF的长，线段CD的长
4. 如图，连AB，再作BM⊥河边于点M．
折线A－B－M即为所求． 5．20°6．142.5°
〖设计说明〗为学生提供个性化发展的空间，及时了解学生的学习效果，使学生养成独立思考、反思学习过程的习惯．
五、小结提高：
可以采用师生问答的方式或让学生归纳、补充，然后补充的方式进行，主要围绕下列问题：
（1） 本节课我们学习了什么知识？
（2） 你有什么收获？
〖设计说明〗发挥学生的主体意识，培养学生的归纳能力.通过自己归纳小结能提高学生课堂效率（只有认真听讲才能正确归纳），从而实现高效课堂.
六、布置作业：
1．必做题：教科书第9页习题5．1第8、9、10、11、12题
2．选做题：
1．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE， ∠AOD∶∠BOE=4∶1，求∠EOF的度数．
2．随意画一个锐角∠MON和一个钝角∠M′O′N′，画出∠MON的角平分线OP和∠M′O′N′的角平分线O′P′，如图所示．
（1）在OP上任取一点A，画AB⊥OM，AC⊥ON，垂足分别为B，C两点．
（2）在O′P′上任取一点A′，画A′B′⊥O′M′，A′C′⊥O′N′，垂足分别是B′，C′两点．
（3）通过度量线段AB，AC，A′B′，A′C′的长度，发现AB_____AC，A′B′_____A′C′．（填“＝”或“≠”）
（4）通过上面的画图和度量，和同学们交流一下，有什么猜想，请用一句话表述出来．
〖参考答案〗1．设∠AOD＝4x°，∠BOE＝x°∵OE平分∠BOD ∴∠BOD＝2∠BOE＝2x°，
∵∠BOD＋∠AOD＝180°，∴4x＋2x＝180，解得x＝30°，∴∠BOE＝∠DOE＝30°，∵∠DOE＋∠COE＝180°，∴∠COE＝150°∵OF平分∠COE ∴∠EOF＝∠COE＝75°
2．（1）（2）画图略 （3）＝ ＝（4）角平分线上的点到角两边的距离相等．
3．预习题；
1．两条直线被第三条直线所截得的8个角中共有（ ）
A．4对同位角，2对内错角，2对同旁内角
B．2对同位角，4对内错角，2对同旁内角
C．2对同位角，2对内错角，4对同旁内角
D．2对同位角，2对内错角，2对同旁内角
2．在图中，∠1与∠2不是同旁内角的是（ ）
A B C D
3．下列4个图形中，∠1与∠2是同旁内角的是（ ）
A B C D
4．如图，下列四个图形中的∠1和∠2不是同位角的是（ ）
A B C D
5．如图，直线AB、CD、EF相交，构成八个角，找出图中所有的同位角：_____________；
所有的内错角：________________；所有的同旁内角：__________________．
〖参考答案〗
1．A 2．D 3．A 4．C 5．∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8 ；∠3与∠6、∠4与∠5 ；∠3与∠5、∠4与∠6
〖设计说明〗学生可以根据自己的不同水平选择不同的作业，通过预习题培养学生预习的习惯，养成良好的学习习惯．
课后提升
一、课后练习题及答案:
1．如图，点D在AC上，点E在AB上，且BD⊥CE，垂足是M，以下说法：①BM之长是点B到CE的距离；②CE之长是点C到AB的距离；③BD之长是点B到AC的距离；④CM之长是点C到BD的距离，其中正确的是_____________（填序号）．
2．如图，已知直线AB、CD、EF相交于点O，OG⊥AB，如果∠COE＝32°，∠FOG＝29°，那么∠AOC＝_______________．
3．如图，已知直线AB、CD相交于点O，PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F，如果∠AOC＝50°，那么∠EPF＝__________．
第1题 第2题 第3题
4．如图，有两条高速公路L、m，点P为公路L上的一个出口，现要经过点P建一连接两公路的一段通道，欲使通道长最短，应沿怎样的线路施工？
〖参考答案〗
1①④．2．29° 3．50° 4．解：过点P作PQ⊥m，垂足为Q（如答图）．应沿线路PQ施工．
〖设计说明〗在学生充分理解的基础上，引导学生在数学知识和方法的应用中体会数学的价值，增强应用数学的意识，加深对知识的理解．
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