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24．2.1 点和圆的位置关系
01 教学目标
1．结合实例，理解平面内点与圆的三种位置关系．
2．知道确定一个圆的条件；掌握三角形外接圆及三角形的外心的概念．
3．掌握反证法，并会应用于有关命题的证明．
02 预习反馈
阅读教材P92～95，完成下列问题．
1．设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：点在圆外⇔d＞r，如图中的点C；点在圆上⇔d＝r，如图中的点B；点在圆内⇔d＜r，如图中的点A.如：若⊙O的半径为4 cm，点A到圆心O的距离为3 cm，则点A与⊙O的位置关系是点A在圆内．
2．经过一个已知点A可以作无数个圆；经过两个已知点A，B可以作无数个圆，它们的圆心在线段AB的垂直平分线上；经过不在同一条直线上的A，B，C三点可以作一个圆，即不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
3．经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形外部．任意三角形的外接圆有一个，而一个圆的内接三角形有无数个．
03 新课讲授
例1 (24.2.1习题)矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径作圆，判断点B，C与⊙P的位置关系．
【解答】 ∵AB＝8，点P在边AB上，且BP＝3AP，
∴BP＝6，AP＝2.
根据勾股定理得r＝PD＝＝7，
PC＝＝＝9.
∵PB＝6＜r，PC＝9＞r，
∴点B在⊙P内，点C在⊙P外．
【方法归纳】 根据勾股定理求出点到圆心的距离d与半径r比较．
【跟踪训练1】 (例1变式题)如图，已知矩形ABCD的边AB＝3 cm，AD＝4 cm.
(1)以点A为圆心，4 cm为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系怎样？
(2)若以A点为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？
【解答】 (1)∵AB＝3 cm＜r，AC＝＝5 cm＞r，AD＝4 cm＝r，
∴点B在⊙A内，点C在⊙A外，点D在⊙A上．
(2)∵AB＜AD＜AC，且B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，
∴3 cm<r<5 cm.
【思考】 (2)问中B，C，D三点中至少有一点在圆内，是指哪个点在圆内？至少有一点在圆外，是指哪个点在圆外？
例2 (教材P95练习3)如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心？
【解答】 因为A，B两点在圆上，所以圆心与A，B两点的距离相等，所以圆心在CD所在的直线上．因此使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径，它们的交点O就是圆心．
【跟踪训练2】 (24.2.1习题)如图，△ABC的外接圆圆心的坐标是(－2，－1)．
例3 (24.2.1习题)用反证法证明：若∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，则其中至少有一个角不大于60°.
【解答】 证明：假设∠A，∠B，∠C都大于60°，则有∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形的内角和等于180°相矛盾．因此假设不成立，即∠A，∠B，∠C中至少有一个角不大于60°.
【方法归纳】 用反证法证明命题的一般步骤：
①假设命题的结论不成立；
②从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾；
③由矛盾断定假设不成立，从而得到原命题成立．
【跟踪训练3】 已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°.若用反证法证这个结论，应首先假设∠B≥90°．
04 巩固训练
1．用反证法证明命题“△ABC中，至少有两个锐角”时，第一步假设为假设△ABC中，只有一个锐角．
2．已知⊙O的半径r＝5 cm，圆心O与点D的距离OD＝3 cm，过点D且垂直于OD的直线l上有三点A，B，C，且AD＝4 cm，BD>4 cm，CD<4 cm.则点A在⊙O上，点B在⊙O外，点C在⊙O内．
3．已知线段AB＝4 cm，以3 cm长为半径可作2个圆使其经过A，B两点，其圆心在线段AB的中垂线上，圆心与点A的距离为3cm.
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5 cm，BC＝4 cm，以点C为圆心，3 cm为半径作⊙C.
(1)点A，B与⊙C有何位置关系？为什么？
(2)若将⊙C的半径改为2 cm，其他条件不变，则结果又如何呢？若将⊙C的半径改为4 cm呢？
解：(1)由条件及勾股定理得AC＝＝＝3(cm)．
∵AC＝3 cm＝r，
∴点A在⊙C上．
∵BC＝4 cm>r，
∴点B在⊙C外．
(2)当⊙C的半径为2 cm时，点A，B都在⊙C外；
当⊙C的半径为4 cm时，点B在⊙C上，点A在⊙C内．
05 课堂小结
1．点与圆的三种位置关系．
2．三角形外接圆及三角形的外心的概念．
3．反证法．
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