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第二十四章 24.1.2垂直于弦的直径
知识点1：圆的对称性和旋转不变性
1. 圆的轴对称性:圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴,因此圆有无数条对称轴.
2. 圆的中心对称性:圆是以圆心为对称中心的中心对称图形.
3. 圆的旋转不变性:圆围绕圆心旋转任意一个角度,都能够与原来的图形重合.
知识点2：垂径定理及其推论
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧.
推论:如果一条直线具备以下五个性质中的任意两个性质:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的劣弧;⑤平分弦所对的优弧,那么这条直线就具有另外三个性质.
注:①③作条件时,弦不能是直径.
弦心距:从圆心到弦的距离叫弦心距,弦心距也可以说成是圆心到弦的垂线段的长度.
考点1：运用垂径定理进行计算
【例1】 如图,在半径为2的☉O中,弦AB的长为2 ,求圆心O到弦AB的距离.
解:如图,过点O作OM⊥AB,垂足为M,连接OA、OB,则AM=.在Rt△AOM中,OM===1,所以圆心O到弦AB的距离为1.
点拨:本题主要考查垂径定理.圆心O到弦AB的距离图中没有体现,需作圆心到弦的垂线段,将问题转化到直角三角形中解决.
考点2：垂径定理的实际应用
【例2】 某地有一座圆弧形拱桥,拱桥圆心为点O,桥下水面宽度为7.2m,过点O作OC⊥AB,垂足为D,交圆弧于点C,CD=2.4m.现有一艘宽3m,船舱顶部为长方形并高出水面AB2m的货船要经过拱桥,此货船能否顺利通过这座拱桥?
解:船能否通过,只要看船在桥下正中间时,船高是否小于图中的FN.如图,表示桥拱,EF=3m.设OD=xm.
根据勾股定理,可得2.4+x=,解得x=1.5.
所以圆的半径为1.5+2.4=3.9(m).
在直角△OHN中,根据勾股定理,可得OH==3.6(m).
所以FN=HD=OH-OD=3.6-1.5=2.1(m).
因为2m<2.1m,仅有0.1m的余量,因此货船可以通过这座拱桥,但要非常小心.
点拨:货船能否顺利通过该桥,首先要看宽度和高度是否小于石拱桥的宽度和拱顶高,其次关键在于看船舱顶部两角是否被拱顶拦住(如图).利用垂径定理先计算圆的半径,然后假设弦MN=3,计算NF的长与2m比较,若NF大于2m,则船能顺利通过,反之则不能顺利通过.
考点3：圆的对称性
【例3】 将一圆形纸片对折后再对折,得到如图24.1-3所示的图形,然后沿着图中的虚线剪开,得到两部分,其中一部分展开后的平面图形是( ).
答案:C.
点拨:我们可以动手试一试,即可获得答案,又可通过分析做出选择.由于圆是轴对称图形,结合题中方法两次对折后,得到一个四分之一圆,沿虚线剪开,因此四条虚线相等,故为菱形.
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